비리얼 정리

역학에서 비리얼 정리는 총 평균 운동 에너지$\left\langle T\right\rangle$와 이것의 전체 평균 퍼텐셜 에너지 $\left\langle V_{TOT}\right\rangle$등의 관계 있는 일반적인 표현식을 나타낸다. 여기서 꺽쇠는 포함된 양의 평균을 나타낸다. 수학적으로, 이 정리는 다음과 같이 표현된다.

$2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle$

여기서 F_k는 위치 r_k에 있는 k번째 입자에 작용하는 힘을 나타낸다. "virial"이라는 단어는 vis에서 유래된 것으로, 라틴어로 "힘" 또는 "에너지"란 의미를 가지고 있으며, 1870년 루돌프 클라우지우스에 의해 정의되었다. 프릿츠 쯔위키가 처음으로 눈에 보이지 않는 물질 즉, 암흑 물질의 존재성에 대해 규명하기 위하여 비리얼 정리를 사용하였다.

비리얼 정리의 중요성은 이 정리가 일반적인 해를 무시하는 매우 복잡한 계에 대해서도 평균 총 운동 에너지를 계산될 수 있다는 것이다. 예를 들자면, 통계 역학에서 고려된 것들이다; 평균 총 운동 에너지는 동차분할 방정식에 의한 계의 온도와 관련이 있다. 반면에, 비리얼 정리는 온도의 정의에 구애받지 않으며, 열적 평형 상태에 있지 않은 계에 대해서도 적용할 수 있다. 비리얼 정리는 다양한 방법으로 일반화되어 있으며, 보편적으로 텐서로 표현한다.

만약 어떤 계의 아무 두 입자 사이의 힘이 입자 간 거리 r의 어떤 멱 n에 비례하는 퍼텐셜 에너지 V(r)=αr ⁿ로부터 도출된다면, 비리얼 정리는 단순한 형태로 적용할 수 있다.

$2\langle T\rangle =n\langle V_{TOT}\rangle .$

그러므로, 두 배로 곱한 평균 총 운동 에너지 $\left\langle T\right\rangle$은 n번 곱한 평균 총 퍼텐셜 에너지 $\left\langle V_{TOT}\right\rangle$와 같다. 여기서 V(r) 두 입자간 사이의 퍼텐셜 에너지를 나타내며, V_TOT는 계의 총 퍼텐셜 에너지를 타나낸다. 이러한 시스템의 기본적인 예로서, 행성이 그 자체의 중력에 묶여 있고 n은 -1인 것이다. 그것의 또다른 많은 예들처럼, 비리얼 정리는 백색 왜성 행성들의 안정성에 대해 찬드라세카르 극한을 증명하기 위해 사용되어 왔다.

비록 비리얼 정리는 총 운동 에너지와 총 퍼텐셜 에너지를 평균화하는 것에 의존하지만, 마지막 평균화하는 것은 다음 단락으로 미루겠다.

비리얼의 정의와 시간 도함수

$N$개의 점 입자들의 모집합에 대하여, 원점으로부터의 스칼라 관성 모멘트 I는 다음과 같은 표현식으로 정의된다.

$I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}$

여기서 m_k 와 r_k는 각각 k번째 입자의 질량과 위치를 나타낸다. 스칼라 량 비리얼 G는 다음과 같다.

$G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}$

p_k는 k번째 입자의 운동량 벡터이다. 질량은 일정하다고 가정하고, 비리얼 G는 1/2배의 관성 모멘트에 대한 시간 도함수이다.

$G={\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}$

바꿔서, 비리얼 G의 시간 도함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}$

$=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}$

또는 더 간단하게,

${\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.$

여기서 $m_{k}$은 $k^{\mathrm {} }$번째 입자의 질량이다., $\mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}$는 입자 상의 총 힘이고 $T$는 계의 전체 운동 에너지이다.

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.$

입자 간 퍼텐셜 에너지에 대한 연관성

입자 $k$상의 전체 힘 $\mathbf {F} _{k}$는 계 안의 다른 입자들 $j$로부터 받는 모든 힘들의 합이다.

$\mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}$

$\mathbf {F} _{jk}$는 입자$k$ 상에서 입자$j$에 의해 받는 힘이다. 따라서, 비리얼 시간 도함수의 힘 부분은 다음과 같이 쓴다.

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.$

어떠한 입자도 자기자신에게 작용하지 않으므로 ($\mathbf {F} _{jk}=0$ $j=k$일 때),

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).$

우리는 뉴턴의 3법칙이 적용된다고 가정한다.$\mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}$ (작용 반작용 법칙).

이것은 종종 힘이 점 입자 $j$와 $k$ 간의 거리 $r_{jk}$의 함수인 퍼텐셜 에너지 $V$로부터 계산되고, 힘이 음의 퍼텐셜 에너지의 미분형이 될 때,

$\mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),$

이것은 $\mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V$에 완전히 같거나 반대이고, 그 힘은 입자$j$ 상에서 입자$k$에 의해 적용된다.따라서 비리얼 시간 도함수의 힘 부분은,

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.$

그러므로,

${\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}$

power-law 힘의 특수한 상황

특별한 상황에서, 두 입자 사이의 퍼텐셜 에너지 $V$ 거리 r의 멱 n에 비례한다.

$V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},$

계수 α와 지수 n은 상수이다.이러한 경우, 비리얼 시간 도함수의 힘 부분은 다음과 같이 주어진다.

$-\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nV_{TOT}$

$V_{TOT}$은 계의 총 퍼텐셜 에너지이다.

$V_{TOT}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).$

따라서

${\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{TOT}$

중력 계와 정전기학에 대해, 지수n 은 -1이고, 라그랑지 항등식으로부터

${\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{TOT}$

이것은 라그랑지가 유도해 내고 야코비가 확장한 것이다.

시간 평균화와 비리얼 정리

모든 시간 $\tau$에 대해 이 도함수의 평균값은 다음과 같이 정의된다.

$\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},$

다음 식에서 나타낸 것으로부터,

$\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.$

비리얼 정리에서 나타난 바에 의하면, 만약 $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$이면

$2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.$

시간 도함수가 왜 사라지는지에 대해서는 많은 이유가 있다.즉, $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$. 자주 언급하던 이유 중 하나가 안정된 묶인 계에 적용된다. 이 계는 항상 서로 엮여 있는 상태다. 이 경우에서, 비리얼 $G^{\mathrm {bound} }$는 두 극한값$G_{\min }$ 와 $G_{\max }$에 항상 묶이게 되고, 그리고 평균값은 매우 긴 시간 $\tau$ 의 극한에서 0으로 수렴한다.

$\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.$

시간 도함수 $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0$의 평균값이 0으로 근사하더라도, 비리얼 정리는 동일한 근사적 차수에 놓이게 된다.

지수 n에 대한 power-law forces는 일반적인 표현식으로,

$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{TOT}\rangle _{\tau }.$

중력 접근에 대하여, n은 -1과 같고, 평균 운동 에너지는 음의 평균 퍼텐셜 에너지의 절반과 같다.

$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{TOT}\rangle _{\tau }.$

이런 일반적인 결과는 복잡한 중력계, 예를 들면 태양계나 은하계에 대해 유용하다.

비리얼 정리의 단순한 응용은 은하 성단에 대한 것이다. 만약 우주 공간이 보통과는 달리 은하계들로 가득찼다면, 그것들이 매우 오랜 시간 동안 붙어 있다고 가정해도 될 것이다. 또한 비리얼 정리 역시 적용될 수 있을 것이다. 도플러 관측값은 그들간의 상대속도가 낮은 범위에 있고, 또한 비리얼 정리는 암흑물질을 포함한 은하집단의 총 질량이 낮은 범위의 값을 제공한다.

평균화는 모든 시간에 할 필요는 없다;앙상블 평균이 동일한 결과에 대해 취해질 수 있다.

비리얼 정리는 비록 고전역학에서 유도되었지만 양자역학에서도 잘 성립한다.(양자역학에서 동일한 좌변값 $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }$은 에너지의 양자역학적인 상태에서는 소멸한다.)

전자기장에서의 비리얼 정리

비리얼 정리는 전기장과 자기장에서도 적용할 수 있다. 그 결과는

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})dS_{i},$

I는 관성 모멘트이고, G는 전자기장의 운동량 밀도이며, T는 "유체"의 운동 에너지이다.그리고 U 입자들의 임의의 "열" 에너지이며, W^E와 W^M는 주어진 부피에 해당하는 전기적 자기적인 에너지이다. 최종적으로, p_ik는 움직이는 좌표계에서 표현된 유체 압력이다.

$p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }$,

그리고 T_ik 전자기적 스트레스 텐서이고,

$T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).$

플라즈모이드는 자기장과 플라즈마의 유한한 배열을 뜻한다. 비리얼 정리로 어떤 아무 외력이 작용하지 않은 배열이든 쉽게 보일 수 있다.자기적 코일이나 압력-배어링 벽이 없는 유한한 배열에서, 면적분은 사라진다.우변에 있는 모든 항들이 양수가 될 때, 관성 모멘트의 가속도도 양수가 될 것이다. 이것 역시 시간 τ로 쉽게 증명할 수 있다. 만약 전체 질량 M이 반지름 R로 한정되면, 관성 모멘트는 MR²이고 비리얼 정리의 좌변은 MR²/τ²가 된다. 우변의 항들은 pR³에 대해 더해진다.여기서 p는 자기적 압력 혹은 플라즈마 압력의 크기이다.. 두 항을 시간 τ에 대해 풀면

$\tau \,\sim R/c_{s},$

c_s는 이온 음파 (만약 자기 압력이 플라즈마 압력보다 높을 땐, 또는 알프벤 파의 속도). 따라서 플라즈모이드의 지속시간은 음파의 전환 시간 차수로 예측된다.

비리얼 반지름

천문학에서, 비리얼 반지름이 비리얼 평형상태에 있는 은하나 은하 성단에 중심에서 구의 반지름을 구하는 데 사용되기도 한다. 이 반지름은 관측에 의해 확정하기는 어렵지만 어떤 특수한 요인으로 평균밀도가 임계 밀도 $\rho _{crit}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$보다 더 큰 경우에 반지름 근사치로 이용된다( H는 허블 상수이고 G는 중력 상수이다). 일반적인 인수는 200으로 계산되며, 이 경우 비리얼 반지름은 $r_{200}$이다.

천문학에서

비리얼정리는 천문학에서 자주 이용되는데, 특히 시스템의 운동에서지나 열에서지와 관련된 중력포텐셜에너지에서 자주 이용된다. 일반적으로 질량,반지름,속도 그리고 에너지들이 비리얼관계에 있다 . 뉴턴 중력 상수,볼츠만 상수, 양성자 질량 등이 상수로 정해져 있다. 이 관계들은 오직 대략적이며, 가끔 숫자요소 (예를들면, 3/5 나 1/2)들은 완전히 무시될 수 있다.