베셀 함수

수학에서, 베셀 함수(Bessel function)는 헬름홀츠 방정식을 원통좌표계에서 변수분리할 때 등장하는 특수 함수다. 물리학에서 맥스웰 방정식이나 열 방정식, 슈뢰딩거 방정식 등 다양한 문제를 풀 때 쓰인다.

정의

베셀 함수는 다음과 같은 상미분 방정식의 해 $y(x)$다.

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

여기서 $\alpha$는 임의의 복소수다. 이 상미분 방정식을 $\alpha$차수의 베셀 방정식(Bessel equation)이라고 한다.

베셀 방정식은 2차 상미분 방정식이므로, 베셀 방정식은 두 개의 선형 독립인 해를 가진다. $\alpha$가 정수일 경우, 두 해 이 가운데 하나는 $x\to 0$에서 발산하고, 다른 하나는 발산하지 않는다. 발산하지 않는 경우를 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind) $J_{\alpha }(x)$라고 하고, 발산하는 경우를 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind) $Y_{\alpha }(x)$라고 한다. ($\alpha$가 정수가 아닐 경우에도 $J_{\alpha }(x)$와 $Y_{\alpha }(x)$는 베셀 방정식의 두 개의 독립된 해를 이룬다.) 즉, 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}Y_{\alpha }(x)$

여기서 c₁,c₂는 임의의 상수다.

베셀 방정식의 유도

베셀 방정식은 2차원 헬름홀츠 방정식

$(\Delta +k^{2})f=0$

을 극좌표계에서 변수분리할 때 나타난다. 즉, 원통좌표계 라플라스 연산자는

$\Delta ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}$

이므로, $f(r,\theta )$를

$f(r,\theta )=R(kr)\Theta (\theta )$

와 같이 변수분리하면 $\theta$의 주기적 경계 조건에 의하여

$\Theta (\theta )=\cos n\theta$ 또는 $\sin n\theta$ ($n\in \mathbb {Z}$)

가 된다. 이를 다시 헬름홀츠 방정식에 대입하면 다음과 같이 베셀 방정식을 얻는다.

$R''+(kr)R'+\left((kr)^{2}-n^{2}\right)R=0$

제1종 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑) 일 때 J_α(x)의 그래프

α가 임의의 복소수일 때, 베셀 방정식의 가장 기본적인 해를 제1종 베셀 함수 J_α(x)라고 하며 다음과 같이 정의한다.

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$

여기서 Γ(x)는 감마 함수를 의미한다.

이 때 만약 α가 정수가 아니라면, J_α(x)와 J_-α(x)는 선형 독립이면서 베셀 방정식의 해가 된다. 따라서

$y(x)=c_{1}J_{\alpha }(x)+c_{2}J_{-\alpha }(x)$

(여기서 c₁,c₂는 상수) 는 α가 정수가 아닐 때의 베셀 방정식의 일반해가 된다.

성질

$J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)$(a가 정수일때만 정의 된다)

$J_{-1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\cos x$

$J_{1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\sin x$

${d \over dx}\left(x^{\alpha }J_{\alpha }(x)\right)=x^{\alpha }J_{\alpha -1}$

$\int _{0}^{x}x'J_{0}(x')dx'=xJ_{1}(x)$

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(x)=1$

베셀의 적분

n이 정수인 베셀 함수에 대해선 다음과 같이 적분 표현을 사용해서 베셀 함수의 표현이 가능하다.

$J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )d\tau .$

이 형태는 프리드리히 베셀이 사용했던 접근법이다. 그리고 여기서 다른 몇몇 성질들을 유도해냈다.

또 다른 적분 형태의 정의로는 다음이 있다.

$J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-i(n\tau -x\sin \tau )}d\tau$

경로적분법을 통한 표현

경로적분법을 사용하여 베셀 함수를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$J_{n}(z)={1 \over 2\pi i}\oint e^{(z/2)(t-1/t)}t^{-n-1}dt$

여기서 적분 경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

제2종 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑)일 때 Y_α(x)의 그래프

만약 베셀 방정식의 계수 $\alpha$가 정수이면 $J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)$이므로 두 함수는 독립이 아니게 된다. 이 경우 나머지 한 해를 제2종 베셀 함수 Y_α(x)라고 하고, 다음과 같다.

$Y_{\alpha }(x)=\lim _{m\rightarrow \alpha }{\frac {J_{m}(x)\cos m\pi -J_{-m}(x)}{\sin m\pi }}$.

$\alpha$가 정수가 아닐 경우에는 위 공식은 극한 없이 바로 사용할 수 있지만, $\alpha$가 정수일 경우에는 극한을 취하여야만 한다.

변형 베셀 함수

다음과 같은 2차 상미분 방정식을 변형 베셀 방정식(modified Bessel equation)이라고 한다.

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0$

변형 베셀 방정식의 해는 제1종 변형 베셀 함수 $I_{\alpha }(x)$와 제2종 변형 베셀 함수 $K_{\alpha }(x)$이다. 즉, 변형 베셀 방정식의 일반해는 다음과 같다.

$y(x)=c_{1}I_{\alpha }(x)+c_{2}K_{\alpha }(x)$

방정식의 특징 때문에 변형 베셀 함수는 쌍곡 베셀 함수라고도 불린다.

제1종 변형 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 I_α(x)의 그래프

변형 베셀 방정식의 기본적인 해를 제1종 변형 베셀 함수 I_α(x)라 하고, 자세한 형태는 다음과 같다.

$I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)\;$

급수 형태

제1종 변형 베셀 함수도 다음과 같은 급수 형태를 갖는다.

$I_{\alpha }(z)=\left({\frac {1}{2}}z\right)^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\left({1 \over 4}z^{2}\right)^{k} \over k!\Gamma (\alpha +k+1)}$

적분을 통한 표현

선적분을 통한 제1종 변형베셀함수의 표현은 다음과 같다.

$I_{n}(z)={1 \over 2\pi i}\oint e^{(z/2)(t+1/t)}t^{-n-1}dt$

여기서 적분경로는 원점을 주변으로 반시계방향으로 도는 임의의 고리이다.

조금 복잡하지만 다음과 같은 적분 표현법도 있다.

$I_{\alpha }(z)={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }e^{z\cos \theta }\cos(\alpha \theta )d\theta -{\sin(\alpha \pi ) \over \pi }\int _{0}^{\infty }e^{-z\cosh t-\alpha t}dt$

만약, α가 정수이면 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

$I_{n}(z)={1 \over \pi }\int _{0}^{\pi }e^{z\cos \theta }\cos(n\theta )d\theta$

미분과 관련된 성질

n = 0 에서의 제1종 변형 베셀 함수를 미분하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$I_{n}(x)=T_{n}{d \over dx}I_{0}(x)$

여기서 T_n은 제1종 체비세프 다항식이다.

제2종 변형 베셀 함수

α=0(빨강), 1(녹색), 2(파랑), 3(검정)일 때 K_α(x)의 그래프

마찬가지로, 변형 베셀 방정식에 대한 제2종 변형 베셀 함수 K_α(x)를 정의 할 수 있는데 그 자세한 형태는 다음과 같다.

$K_{\alpha }(x)={\pi \over 2}{I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x) \over \sin \alpha \pi }$

변형 베셀 함수와 마찬가지로 α가 정수일때 잘 정의가 되지 않으므로, 좀 더 엄밀히 정의하면,

$K_{\alpha }(x)=\lim _{m\rightarrow \alpha }{\pi \over 2}{I_{-m}(x)-I_{m}(x) \over \sin \alpha \pi }$

또한 제2종 변형 베셀 함수는 다음과 같은 함수로 불리기도 했다.

• 배셋 함수
• 맥도날드 함수

다른 표현

베셀 함수는 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 야코비-앙거 전개(Jacobi–Anger expansion)라고 한다.

$\exp(ir\cos \theta )=\sum _{n}i^{n}J_{n}(r)\exp(in\theta )=J_{0}(r)+\sum _{n}2i^{n}J_{n}(r)\cos n\theta$.

이는 카를 구스타프 야코프 야코비와 카를 테오도어 앙거(Carl Theodor Anger)의 이름을 딴 것이다.

마찬가지로, 구면 베셀 함수도 다음과 같이 생성 함수로 표현할 수 있다. 이 공식을 레일리 전개(Rayleigh expansion)라고 한다.

$\exp(ir\cos \theta )=\sum _{n}i^{n}(2n+1)j_{n}(r)P_{n}(\cos \theta )$.

여기서 $P_{n}$은 르장드르 다항식이다.

역사

다니엘 베르누이가 최초로 정의하였다. 프리드리히 베셀이 연구하고, 일반화하였다.

참고 문헌

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bessel function of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Modified Bessel function of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cylinder functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Neumann function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hankel functions”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.