무리수

무리수(無理數)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수라 한다.

유리수의 집합은 $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$로 정의하고, 무리수의 집합은 $\mathbb {I} =\mathbb {R} -\mathbb {Q}$로 정의한다.

무리수는 소숫점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.

무리수는 다시 ${\sqrt {2}}$와 같은 대수적 수인 무리수와 $\pi$ 등의 초월수로 나뉜다.

무리수 명칭에 대한 논란

무리수라는 명칭에는 논란의 여지가 있다. 무리수라는 말은 개화기 일본의 학자들이 서양 학문을 수입하고 번역하면서 영어 irrational에 대응되는 뜻으로 만든 용어이다. 보통 rational은 '이성적인'이라는 뜻으로 사용하기 때문에 '이성적이지 않은'이라는 뜻에서 무리수라고 번역한 것으로 추정되지만, ratio라는 단어에 '비율'이라는 뜻이 있고, 무리수라는 의미로 사용할 때의 rational은 ratio의 형용사형이라고 볼 수도 있기 때문에, 몇몇 학자들은 '유비수/무비수(비율이 있는/비율이 없는)'와 같은 명칭을 이용해야 한다고 주장하기도 한다.

몇가지 무리수의 증명

특수한 로그꼴의 수

가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 $\log _{2}3$ 과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:

• $\log _{2}3$ 을 유리수라 하자. 그러면, 어떤 자연수 $m,n$에 대해, $\log _{2}3={\frac {m}{n}}$ 을 만족한다.
• 따라서, $2^{\frac {m}{n}}=3$ 이 되고.
• 변형하면, $2^{m}=3^{n}$이다.
• 그런데, $2^{m}$은 짝수이고, $3^{n}$은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
• 따라서, 가정이 틀렸다. 즉, $\log _{2}3$은 무리수이다.

2의 제곱근

 이 부분의 본문은 2의 제곱근입니다.

무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.

이에 대한 증명의 한가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.

1. ${\sqrt {2}}$가 유리수라 하자.
2. 그러면, ${\sqrt {2}}$는 기약분수 ${\frac {a}{b}}$로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 $a,b$에 대해, $\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2$.
3. 위 식을 풀면

   ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2$

   $a^{2}=2b^{2}$

4. 따라서, $a^{2}$은 짝수.
5. 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, $a$는 짝수여야 한다.
6. 따라서, $a^{2}$는 4의 배수.
7. 즉, ${\frac {a^{2}}{2}}$ 는 짝수.
8. (3)에서, ${\frac {a^{2}}{2}}=b^{2}$이다.
9. (7)과 (8)로부터, $b^{2}$가 짝수임을 알 수 있다.
10. (4), (5)과 같은 방법으로, $b$는 짝수.
11. (5)와 (10)에 의해, $a$와 $b$는 모두 짝수. 이는 ${\frac {a}{b}}$가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배.
12. 모순에 의해 (1)의 ${\sqrt {2}}$가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.

이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.

무리수+유리수

1. ${\sqrt {2}}+3$을 유리수라 가정하자.
2. 위의 식이 유리수라면 ${\sqrt {2}}+3=c$ 를 만족하는 유리수 c가 있을 것이다.
3. 두 번째 식에서 3을 이항시키면 ${\sqrt {2}}=c-3$ 이 된다.
4. 그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 c에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
5. 위의 소제목에서 ${\sqrt {2}}$ 가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 ${\sqrt {2}}+3$이 유리수라는 가정과 위배된다.
6. 모순에 의해 ${\sqrt {2}}+3$이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.