등각 장론

양자장론에서, 등각 장론(等角場論, 영어: conformal field theory, 약자 CFT)은 등각 변환에 대하여 대칭적인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원의 경우는 특별한 성질을 지닌다.이 경우, 계는 복소평면을 일반화한 리만 곡면에서의 이론으로 기술한다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.

전개

등각 다양체

등각 장론은 등각 변환에 대하여 불변이다. 시공을 리만 다양체로 생각할 경우,등각변환은 시공에서 계량 텐서를 바일 변환을 제외하고 보존하는 변환이다. 즉 리만 다양체 $(M,g)$가 주어진다면, 등각변환 $f\colon M\to M$은 $g$를 다음과 같이 변환시킨다.

$g_{\mu \nu }(x)\mapsto \Omega (x)g_{\mu \nu }(x)$

여기서 $\Omega$는 $M$ 위의 스칼라장이다. 좀 더 추상적으로, 시공을 리만 다양체가 아니라, 단순히 미분다양체에 바일 변환에 대한 계량 텐서의 동치류가 주어진 구조로 생각할 수 있다. 이를 등각 다양체(等角多樣體, 영어: conformal manifold)라고 한다.

등각 대칭군의 생성자

등각 대칭군의 생성자는 (국소적으로) 다음과 같다. 우선 계량 부호수가 $(p,q)$인 $d=p+q$차원 유클리드 공간 ($\mathbb {R} ^{p,q}$)을 생각하자. 만약 $d>2$인 경우, 등각 대칭군은 $SO(p+1,q+1)$을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.

• $d$개의 시공 평행 이동
• $d(d-1)/2$개의 로런츠 변환
• $1$개의 확대 변환(영어: dilatation)
• $d$개의 특수 등각 변환(영어: special conformal transformation)

특수 등각 변환은 반전(영어: inversion)과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란

$I\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }/x^{2}$

를 말한다. 즉 평행 이동

$T_{a}\colon x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+a^{\mu }$

와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은

$S_{a}=I\circ T_{a}\circ I$

의 꼴이다.

2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(영어: Witt algebra), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.

축척 대칭과 등각 대칭

푸앵카레 대칭과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.

등각장

등각 장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, 영어: quasiprimary field)라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

2차원의 경우, 일차장(一次場, 영어: primary field)은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, 영어: secondary field)라 부른다.

에너지-운동량 텐서

뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.

범주론적 정의

그레임 시걸은 등각 장론을 함자의 개념을 사용하여 다음과 같이 정의하였다. 원(circle)을 대상으로, 리만 곡면에 의한 보충경계(cobordism)를 사상으로 하는 범주 $\operatorname {Bord} _{2}^{\text{conf}}$를 생각하자. 또한, $\operatorname {Hilb}$는 힐베르트 공간의 범주다. 그렇다면, (2차원) 등각 장론은 특수한 함자 $\operatorname {Bord} _{2}^{\text{conf}}\to \operatorname {Hilb}$이다. 여기서 이 함자는 양 범주의 특정한 성질들을 보존하여야 한다.

2차원 등각 장론

2차원에서는 무한 차원의 비라소로 대수로 인하여 무한히 많은 수의 보존량이 존재하며, 따라서 그 구조가 매우 제한돼 있다. 구체적으로, 양자장론은 상관 함수로 기술되는데, 2차원 등각 장론에서는 이 상관함수를 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식(영어: Ward-Takahashi identity)을 써서 엄밀하게 구할 수 있다. 이러한 의미에서 2차원 등각 장론은 해를 구할 수 있으며(solvable), 2차원 통계역학 계 또는 1+1차원 양자계를 이해하는 데 있어서 강력한 도구다.

2차원에서는 (유클리드 계량 부호수에서의) 등각 구조가 복소 구조와 같다. 따라서, 2차원 유클리드 등각 장론에서의 공간은 리만 곡면의 구조를 가지며, 공간의 좌표는 통상적으로 복소 좌표 $z$로 나타낸다. 즉, 벡터 $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$가 주어지면

$(z,{\bar {z}})=(x+iy,x-iy)$

로 정의한다. 통상적으로 (반)정칙적인 미분을 다음과 같이 정의한다.

$\partial ={\frac {\partial }{\partial z}}$

${\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$

이 경우, 고전적인 등각 대칭은 다음과 같은 비트 대수(영어: Witt algebra)에 의하여 생성된다.

$L_{n}=-z^{n+1}\partial$

${\bar {L}}_{n}=-{\bar {z}}^{n+1}{\bar {\partial }}$

이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}$

$[{\bar {L}}_{m},{\bar {L}}_{n}]=(m-n){\bar {L}}_{m+n}$

양자화 후에는 여기에 변칙적인 항이 추가돼 비라소로 대수가 된다.

다른 모든 양자역학적 모형과 마찬가지로, 등각 장론의 상태 공간 ${\mathcal {H}}$는 복소 벡터 공간을 이루며, 이 가운데 하나의 진공 상태

$|1\rangle \in {\mathcal {H}}$

가 존재한다.

비라소로 대수와 에너지-운동량 텐서

 이 부분의 본문은 비라소로 대수입니다.

높은 차원에서는 등각군은 유한차원이지만, 2차원의 시공에서는 그 등각군이 무한차원이다. 좀 더 정확하 말하면, SO(2,2) 아래에서의 등각 변환군은 정칙 함수의 등각 사상의 변환군(무한 차원 리 군)으로 확장되고, 이를 생성하는 리 대수는 (무한 차원의) 비라소로 대수다. (유클리드 계량 텐서의 경우) 정칙과 반정칙 비라소로 대수 두 복사본이 존재한다. (로렌츠 계량텐서의 경우 이는 오른쪽 및 왼쪽 모드에 해당한다.) 등각 장론의 상태 공간(힐베르트 공간)은 (중심 확장을 포함한) 비라소로 대수의 가군을 이룬다. 해밀토니언이 음수의 값을 가질 수 없으므로, 이는 최고 가중 가군(highest-weight module)이어야 한다.

비라소로 대수의 중심 원소 $c$는 등각 대칭의 변칙적 파괴를 나타낸다. 이에 따라, $c\neq 0$이면 등각군은 $L_{0},L_{\pm 1}$에 의하여 생성되는 뫼비우스 부분군으로 깨진다.

물리학적으로, 비라소로 대수의 생성원 $\{L_{n},{\bar {L}}_{n}\}$은 에너지-운동량 텐서의 푸리에 성분들로 나타난다. 2차원 양자장론의 에너지-운동량 텐서 $T_{ij}$는 2×2 대칭 행렬이므로 일반적으로 3개의 성분을 가지는데, 2차원 등각 장론의 경우 에너지-운동량 텐서의 대각합이 0이므로 2개의 성분밖에 없다. 이들은 $z,{\bar {z}}$ 기저로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$T={\begin{pmatrix}T_{zz}&T_{z{\bar {z}}}\\T_{{\bar {z}}z}&T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}\end{pmatrix}}$

$T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0$

$T_{zz}(z)\equiv T(z)$

$T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}\equiv {\bar {T}}({\bar {z}})$

또한,

${\bar {\partial }}T=0$

$\partial {\bar {T}}=0$

임을 보일 수 있다. 즉, 에너지-운동량 텐서 $T_{ij}(z,{\bar {z}})$를 $T(z)$, ${\bar {T}}({\bar {z}})$로 나타낼 수 있다.

에너지-운동량 텐서의 푸리에 성분을 다음과 같이 정의하자.

$T(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }z^{n}L_{-n-2}$

${\bar {T}}({\bar {z}})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bar {z}}^{n}{\bar {L}}_{-n-2}$

이는 또한 경로적분법으로 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$L_{n}=\oint {\frac {dz}{2\pi i}}z^{n+1}T(z)$

${\bar {L}}_{n}=\oint {\frac {dz}{2\pi i}}{\bar {z}}^{n+1}{\bar {T}}({\bar {z}})$

그렇다면 이들은 비라소로 대수를 따르게 된다. 에너지-운동량 텐서의 에르미트성에 따라서

$L_{n}^{\dagger }=L_{-n}$

${\bar {L}}_{n}^{\dagger }={\bar {L}}_{-n}$

이다.

일차장과 등각 대칭의 표현

임의의 정칙 사상 $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$에 대하여, 장들은 일반적으로 복잡하게 변환한다. 그 가운데, 일차장(영어: primary field)들은 다음과 같이 변환한다.

$(f^{*}O)(z,{\bar {z}})=(\partial f)^{h}({\bar {\partial }}{\bar {f}})^{\bar {h}}O(f(z),{\bar {f}}({\bar {z}}))$

여기서 $(h,{\bar {h}})$는 일차장 $O$의 등각 무게(영어: conformal weight)라고 한다. 또한, 이들로부터 스핀 $s$와 차원(영어: scaling dimension) $\Delta$를 다음과 같이 정의한다.^:36:75:156

$s=h-{\bar {h}}$

$\Delta =h+{\bar {h}}$

일차장의 변환이 잘 정의되기 위해서는 스핀과 차원이 둘 다 정수여야 한다.^:156 다만, 무게 $(h,{\bar {h}})$ 자체는 정수일 필요가 없다.

일차장들의 푸리에 전개는 다음과 같이 쓴다.^:37 무게가 $(h,0)$인 일차장 $\phi (z)$에 대하여,

$\phi (z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }z^{n}\phi _{-h-n}$

$\phi _{-h-n}=\oint {\frac {dz}{2\pi i}}z^{-n-1}\phi (z)$

이다. 이 경우, $|\phi \rangle =\phi (0)|0\rangle$이 정의돼야 하므로

$\phi _{-h-n}=0\forall n<0$

이며, 또한

$|\phi \rangle =\lim _{z\to 0}\phi (z)|1\rangle =\phi _{-h}|1\rangle$

이다. 즉, $\phi _{-h}$는 $|\phi \rangle$의 생성 연산자이다.

일차장들은 에너지-운동량 텐서 $T(z)$와 다음과 같은 연산자 곱 전개를 가진다.^:20

$T(z)O(w,{\bar {w}})={\frac {h}{(z-w)^{2}}}O(w,{\bar {w}})+{\frac {1}{z-w}}\partial _{w}\Phi +\cdots$

${\bar {T}}({\bar {z}})O(w,{\bar {w}})={\frac {\bar {h}}{({\bar {z}}-{\bar {w}})^{2}}}O(w,{\bar {w}})+{\frac {1}{{\bar {z}}-{\bar {w}}}}{\bar {\partial }}_{\bar {w}}O(w,{\bar {w}})+\cdots$

즉, 모든 $n>0$에 대하여, 일차장들은 $L_{n}$, ${\bar {L}}_{n}$에 의하여 상쇄된다.

$L_{n}|\phi \rangle ={\bar {L}}_{n}|\phi \rangle =0\forall n>0$

$L_{0}|\phi \rangle =h|\phi \rangle$

${\bar {L}}_{0}|\phi \rangle ={\bar {h}}|\phi \rangle$

반대로,

$\langle \phi |L_{-n}=\langle \phi |{\bar {L}}_{-n}=0\forall n>0$

$\langle \phi |L_{0}=h\langle \phi |$

$\langle \phi |{\bar {L}}_{0}={\bar {h}}\langle \phi |$

이다.

일차장에 $L_{-n}$ ($n>0$)을 가하여, 다양한 이차장(영어: secondary field)들을 정의할 수 있다. 즉, 만약 $\phi$가 일차장이라면 다음은 모두 이차장이다.

$L_{-1}\phi \qquad L_{-3}L_{-2}\qquad L_{-4}L_{-2}^{2}L_{-1}\phi$

주어진 일차장 $\phi$로부터 정의되는 이차장들을 $\phi$의 자손( 자손, 영어: descendent)이라고 한다.

$L_{-n}$을 가하면 무게 $h$가 $n$만큼 증가하고, 마찬가지로 ${\bar {L}}_{-n}$을 가하면 무게 ${\bar {h}}$가 $n$만큼 증가한다. 일차장과 여기에 음수 차수 비라소로 연산자들을 가하여 얻은 이차장들의 집합을 베르마 가군(영어: Verma module)이라고 하며, 베르마 가군의 무게는 그 일차장의 무게이다. 무게가 $(h,{\bar {h}})$인 베르마 가군에서, 무게가 $(h+n,{\bar {h}}+{\bar {n}})$인 이차장들의 수는

$p(n)p({\bar {n}})$

이다. 여기서 $p(k)$는 분할수 함수이다. 다만, 베르마 가군의 원소 가운데 노름이 0 또는 음수인 경우는 물리적 힐베르트 공간에 포함시키지 않는다.

항등 연산자(진공) $1$은 일차장이며, 그 무게는 $(h,{\bar {h}})=(0,0)$이다. 에너지-운동량 텐서 $T(z)$, ${\bar {T}}({\bar {z}})$는 $1$의 자손이며, 구체적으로 다음과 같다.

$T(z)=L_{-2}1$

${\bar {T}}(z)={\bar {L}}_{-2}1$

방사 양자화와 상태-연산자 대응성

2차원 등각 장론에서는 방사 좌표

$r=|z|$

를 시간으로 삼아 양자화가 가능하다. 이는 다음과 같은 정칙 좌표 변환 (지수 함수)

$z=\exp w=\exp(t+i\theta )$

를 통해, 원점을 제거한 복소 평면 $\mathbb {C} \setminus \{0\}$를 $S^{1}\times \mathbb {R}$으로 대응시킬 수 있기 때문이다. 이 경우, 원점 $z=0$ ($t=-\infty$)는 무한 과거에 대응하며, 반면 $z={\hat {\infty }}$ ($t=+\infty$)는 무한 미래에 해당한다. 이러한 양자화를 방사 양자화(放射量子化, 영어: radial quantization)라고 한다. 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서(영어: time ordering)와 마찬가지로, 방사 순서(영어: radial ordering) 연산자

$R(A(z,{\bar {z}})B(w,{\bar {w}}))={\begin{cases}A(z,{\bar {z}})B(w,{\bar {w}})&|z|>|w|\\B(w,{\bar {w}})A(z,{\bar {z}})&|z|<|w|\\\end{cases}}$

를 정의한다.^:19 모든 상관 함수에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.

$\langle 1|O_{1}(z_{1})O_{2}(z_{2})\cdots O_{n}(z_{n})|1\rangle =\langle 1|R\left(O_{1}(z_{1})O_{2}(z_{2})\cdots O_{n}(z_{n})\right)|1\rangle$

이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자 $O(z,{\bar {z}})$가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자 $O$에 대응하는 초기 상태(브라) $|O\rangle$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

$|O\rangle =\lim _{z,{\bar {z}}\to 0}O(z,{\bar {z}})|1\rangle$

연산자 $O$가 좌표 변환 $f(z)=1/z$에 대하여

$(f^{*}O)(z,{\bar {z}})=p(\partial f,{\bar {\partial }}f)O(f(z),f(z))$

의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자 $O$에 대응하는 최종 상태(켓) $\langle O|$는

$\langle O|=\lim _{w,{\bar {w}}\to 0}\langle 1|O(w,w)=\lim _{z,{\bar {z}}\to \infty }\langle 1|{\frac {1}{f(z)}}O(z,{\bar {z}})$

가 된다. 무게가 $(h,{\bar {h}})$인 1차장의 경우

$(f^{*}O)(z,{\bar {z}})=(\partial f)^{h}({\bar {\partial }}{\bar {f}})^{\bar {h}}O(f(z),{\bar {f}}({\bar {z}}))$

의 꼴로 변환하므로,

$\langle O|=\lim _{z,{\bar {z}}\to {\hat {\infty }}}\langle 1|z^{2h}{\bar {z}}^{2{\bar {h}}}O(z,{\bar {z}})$

이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서 $T(z,{\bar {z}})$)의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.

이렇게, 등각 장론에서는 상태 공간과 국소 연산자들의 공간 사이의 동형사상이 존재한다. 이를 상태-연산자 대응성(영어: state–operator correspondence)이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태 $|1\rangle$에 대응하는 연산자는 항등 연산자 $1$이다.

방사 양자화와 상태-연산자 대응성은 고차원의 등각 장론에서도 성립하며, 이 경우 $\mathbb {R} ^{d}\setminus \{0\}$를 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$에 대응시키게 된다. 하지만 이는 등각 대칭을 갖지 않는 일반적인 양자장론에서는 성립하지 않는다.^:100

상관 함수의 성질

등각 장론에서, 2점 및 3점 상관 함수들은 모두 등각 대칭에 의하여 정해진다. 구체적으로, 등각 무게가 각각 $(h_{i},{\bar {h}}_{i})$인 연산자 $O_{i}$들의 2점 상관 함수는 다음과 같은 꼴이다.

$\langle 1|O_{i}(z_{1})O_{j}(z_{2})|1\rangle =C_{ij}z_{12}^{-h_{i}+h_{j}}{\bar {z}}_{12}^{-{\bar {h}}_{i}-{\bar {h}}_{j}}$

$\langle 1|O_{i}(z_{1})O_{j}(z_{2})O_{k}(z_{3})|1\rangle =C_{ijk}z_{12}^{-h_{i}-h_{j}+h_{k}}z_{23}^{h_{i}-h_{j}-h_{k}}z_{13}^{-h_{1}+h_{2}-h_{3}}{\bar {z}}_{12}^{-{\bar {h}}_{i}-{\bar {h}}_{j}+{\bar {h}}_{k}}{\bar {z}}_{23}^{{\bar {h}}_{i}-{\bar {h}}_{j}-{\bar {h}}_{k}}{\bar {z}}_{13}^{-{\bar {h}}_{1}+{\bar {h}}_{2}-{\bar {h}}_{3}}$

여기서 $z_{ij}=z_{i}-z_{j}$, ${\bar {z}}_{ij}={\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j}$이다. 반면 4점 이상의 상관 함수는 등각 대칭에 의하여 완전히 결정되지 않는다. 이는 타이히뮐러 공간 ${\mathcal {T}}_{0,n}$은 $n>3$이면 더 이상 0차원이 아니기 때문이다. 즉, 리만 구의 등각 대칭(뫼비우스 변환)을 사용하여 임의의 3개의 점을 원하는 위치로 고정시킬 수 있지만, 4번째의 점은 이렇게 고정시키지 못한다.

분배 함수

2차원 등각 장론의 분배 함수는 특별한 성질들을 가진다. 분배 함수를 정의하기 위해서는, 우선 진동 모드들을 이산화(discretization)하기 위하여 공간을 축소화한다. 즉, 공간에 주기적인 경계 조건을 주어, 원으로 만든다. 또한, 시간에도 주기적인 경계 조건을 주자. 이 경우, 시간의 주기는 온도의 역수가 된다. 이에 따라, 2차원 등각 장론의 분배 함수를 계산하려면, 등각 장론을 (복소 구조가 주어진) 원환면, 즉 타원 곡선 위에 정의하면 된다.

타원 곡선의 복소 구조는 상반평면의 한 원소

$\tau \in \mathbb {H}$

로 나타내어진다. 또한, 모듈러 군의 작용에 따라, 같은 궤도에 속한 $\tau$는 같은 복소 구조를 나타낸다.

$\tau \mapsto \tau +1$

$\tau \mapsto -1/\tau$

따라서, 등각 장론의 분배 함수 ${\mathcal {Z}}(\tau ,{\bar {\tau }})$는 $\tau$, ${\bar {\tau }}$에 대한 함수이며, 또한 위와 같은 모듈러 변환에 대하여 불변이다.

${\mathcal {Z}}(\tau ,{\bar {\tau }})={\mathcal {Z}}(\tau +1,{\bar {\tau }}+1)={\mathcal {Z}}(-1/\tau ,-1/{\bar {\tau }})$

이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다.

${\mathcal {Z}}(\tau ,{\bar {\tau }})=\operatorname {tr} _{\mathcal {H}}\left(q^{L_{0}-c/24}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\bar {c}}/24}\right)$

여기서

• $q=\exp(2\pi i\tau )$
• ${\mathcal {H}}$는 등각 장론의 힐베르트 공간이다. 즉, 노름이 양수인 모든 상태들의 내적공간이다.
• $(c,{\bar {c}})$는 등각 장론의 비라소로 대수의 중심 전하이다.

모듈러 불변인 등각 장론은 타원 곡선(종수 1 리만 곡면) 위에 정의될 수 있다. 또한, 모듈러 불변 등각 장론은 임의의 종수의 리만 곡면 위에 정의할 수 있다. 즉, 고차 종수에서의 제약들은 종수 1에서 완전히 나타난다.

아핀 리 대수

등각 장론은 등각 대칭 말고도 다른 대역적인 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 이론이 콤팩트 리 군 $G$ 꼴의 대칭을 가진다고 하자. 즉, 이 경우 대칭의 생성원들 $Q^{a}$ ($a=1,\dots ,\dim G$)은 $G$의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$값을 가진 연산자들이며, 이들은

$[Q^{a},Q^{b}]=if^{ab}{}_{c}Q^{c}$

꼴의 교환 관계를 만족시킨다.

그러나 등각 장론이 대칭 $G$를 가질 경우, 대칭의 생성원뿐만 아니라, 대칭에 따른 보존류 $j^{a}$들도 연산자 곱 전개에 의하여 대수를 이룬다. 이 보존류들은 무게가 1인 1차장들이며, 이들의 푸리에 급수를

$j^{a}=\sum _{n}j_{n}^{a}z^{-n-1}$

로 정의하면

$j_{0}^{a}=Q^{a}$

가 된다. 이들의 교환 관계는 다음과 같다.

$[j_{m}^{a},j_{n}^{b}]={\frac {1}{2}}km\delta ^{ab}\delta _{m+n,0}+if^{ab}{}_{c}j_{m+n}^{c}$

이들은 무한 차원 리 대수를 이루며, 이를 아핀 리 대수 또는 카츠-무디 대수(영어: Kač–Moody algebra)라고 부른다.^:68–69 여기서 $k\in \mathbb {Z}$는 이론마다 다른 정수이며, 아핀 리 대수의 레벨(영어: level)이라고 한다.

대표적으로, 과녁 공간이 리 군 $G$인 시그마 모형을 생각할 수 있다. 이 경우, 적절한 항들을 추가시키면 이론을 등각 장론으로 만들 수 있다. 이러한 모형을 베스-추미노-위튼 모형이라고 하며, 리 군 속에서 움직이는 끈을 나타낸다.

카디 엔트로피

2차원 등각 장론의 경우, 모듈러 불변성을 사용하여, 매우 높은 에너지 $E$에서의 상태 밀도 $N(E)$가 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.^{:§3.1:38:164–166:89–91}

$N(E)\sim \exp(4\pi {\sqrt {cE/6}})$

여기서 c는 등각 장론의 중심 원소다. 즉, 그 로그를 취하면 2차원 등각 장론의 엔트로피는 다음과 같다.

$S(E)\approx 4\pi {\sqrt {cE/6}}$

이를 카디 엔트로피 공식(영어: Cardy entropy formula)이라고 한다. 이 공식은 끈 이론에서 블랙홀 엔트로피를 계산할 때 쓰인다.

예

자유 스칼라장

2차원 등각 장론의 가장 간단한 예는 하나의 자유 스칼라장을 포함하는 모형이다.^{:77–82:21–24} 실수 스칼라장 $\Phi (z,{\bar {z}})$를 포함하는, 다음과 같은 작용을 생각하자.

$S={\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int d^{2}z\,\partial \Phi {\bar {\partial }}\Phi$

그렇다면 스칼라장 $\Phi$는 다음과 같은 2점 함수를 가진다.

$\langle \Phi (z,{\bar {z}})\Phi (z,{\bar {\Phi }})=-{\frac {1}{2}}\alpha '\ln |z-w|^{2}$

이 작용의 오일러-라그랑주 방정식

$\partial {\bar {\partial }}\Phi (z,{\bar {z}})=0$

을 사용하여, $\Phi$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

$\Phi (z,{\bar {z}})=\phi (z)+{\bar {\phi }}({\bar {z}})$

이 경우, 이들은 다음과 같은 2점 함수를 가진다.

$\langle \phi (z)\phi (z')\rangle =-{\frac {1}{2}}\alpha '\ln(z-z')$

$\langle {\bar {\phi }}(z){\bar {\phi }}(z')\rangle =-\alpha '\ln({\bar {z}}-{\bar {z}}')$

이 경우 $\partial \phi$의 2점 함수는

$\langle \partial \phi (z)\partial \phi (z')\rangle =-{\frac {\alpha '}{2(z-w)^{2}}}+\cdots$

이므로, $\phi$, ${\bar {\phi }}$는 1차장이 아니지만 $\partial \phi$, ${\bar {\partial }}{\bar {\phi }}$는 1차장을 이루는 것을 알 수 있다. 또한, $\exp(ik\phi )$도 1차장을 이룬다. 즉, 이론의 1차장들과 그 무게는 다음과 같다.

1차장	무게 $(h,{\bar {h}})$
$1$	$(0,0)$
$\partial \phi (z)$	$(1,0)$
${\bar {\partial }}{\bar {\phi }}({\bar {z}})$	$(0,1)$
$:\exp(ik\phi (z)/{\sqrt {\alpha '}}):$	$(k^{2}/4,0)$
$:\exp(-ik{\bar {\phi }}({\bar {z}})/{\sqrt {\alpha '}}):$	$(0,k^{2}/4)$

이 이론의 중심 전하는 $(c,{\bar {c}})=(1,1)$이다. 보다 일반적으로, $n$개의 스칼라장을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 $c=n$이다. 이는 끈 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 보손 끈 이론에서는 시공간의 각 차원마다 이에 해당하는 실수 스칼라장이 존재한다. $bc$ 유령 등각 장론이 $c=-26$이며, 끈 이론의 일관성을 위하여 총 중심 전하가 $c=0$이어야 하므로, 총 26개의 차원(스칼라장)이 존재해야 한다. 즉, 보손 끈 이론은 26차원의 시공간에서 존재한다.

자유 스칼라장 등각 장론을 복소 구조 모듈러스가 $\tau \in \mathbb {H}$인 타원곡선 위에 정의하면, 그 분배 함수는 다음과 같다.^:120–122

${\mathcal {Z}}(\tau ,{\bar {\tau }})={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {Im} \tau }}}{\frac {1}{\eta (\tau ){\bar {\eta }}({\bar {\tau }})}}$

여기서 $\eta (\tau )$는 데데킨트 에타 함수다. 인자 $1/{\sqrt {\operatorname {Im} \tau }}$는 끈 이론에서 끈의 질량 중심의 운동량 모드에 해당한다. 이는 다른 진동 모드와 달리 (축소화하지 않은 시공간에서) 국한돼 있지 않으므로, 다른 진동 모드와 달리 특별히 다뤄진다.

축소화 자유 스칼라장

자유 스칼라장 모형을 약간 변화시켜, 축소화 자유 스칼라장을 생각할 수 있다. 이 경우, $\Phi (z,{\bar {z}})$를 실수값 대신 $\mathbb {R} /2\pi R\cong S^{1}$ 값을 가진 장으로 생각한다. 여기서 $R\in \mathbb {R}$은 $\Phi$의 주기이다. 끈 이론에서는 이는 시공간을 반지름이 $R$이게 축소화하는 것에 해당한다. 이 경우, $\exp(ik\phi )$ 꼴의 1차장들은

$\exp(in\phi /R)$ ($n\in \mathbb {Z} )$

로 국한된다. 또한, 이 경우 (등각 대칭을 깨고) 퍼텐셜을 추가한다면 감음수에 따른 솔리톤 상태가 존재한다. 예를 들어, 사인-고든 모형이 이에 해당한다.

축소화 스칼라장을 복소 구조 모듈러스가 $\tau \in \mathbb {H}$인 타원곡선에 축소화시켰을 때, 그 분배 함수는 다음과 같다.^:122–130

$Z(\tau ,{\bar {\tau }})={\frac {1}{\eta (\tau ){\bar {\eta }}({\bar {\tau }})}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(m/R+Rn/2)^{2}/2}{\bar {q}}^{(m/R-Rn/2)^{2}/2}$

여기서

• $\eta (\tau )$는 데데킨트 에타 함수다.
• $q=\exp(2\pi i\tau )$이다.

이 분배 함수는 축소화 주기를

$R\mapsto 2/R$

과 같이 치환하여도 바뀌지 않는다. 이는 끈 이론의 T-이중성에 해당한다.

자유 페르미온

하나의 페르미온 $\psi$을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 $c=1/2$이다. 보손화를 통해, 두 개의 페르미온은 하나의 보손과 같다는 사실을 보일 수 있다.

경계 조건

페르미온의 경우 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwarz boundary condition)과 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition) 두 가지 가능한 경계 조건이 있다. 이들의 구체적인 형태는 공간의 좌표에 따라 달라진다. 공간을 $z\in {\hat {\mathbb {C} }}$로 잡고, 무한 과거가 $z=0$, 무한 미래가 $z={\hat {\infty }}$인 좌표를 쓸 수도 있고, 대신 $z=\exp w$로 하여, 무한 과거가 $w=-\infty$, 무한 미래가 $w=+\infty$인 좌표를 쓸 수도 있다. 이 경우, 등각 무게가 $(h,{\bar {h}})=(1/2,0)$인 페르미온 장 $\psi (z)$의 경계 조건은 다음과 같다.^{:58:72–73,80–82:122–124}

• 느뵈-슈워츠 경계 조건에서는

$\psi (e^{2\pi i}z)=+\psi (z)$

$\psi (w+2\pi i)=-\psi (w)$

이다. 즉, 평면(z)에서는 주기적이고, 원기둥(w)에서는 반주기적이다.

• 라몽 경계 조건에서는

$\psi (e^{2\pi i}z)=-\psi (z)$

$\psi (w+2\pi i)=+\psi (z)$

이다. 즉, 평면(z)에서는 반주기적이고, 원기둥(w)에서는 주기적이다. $w\to z$로 좌표를 바꾸면, 무게가 반정수이기 때문에 경계 조건이 주기적에서 반주기적으로 바뀌게 된다.^{:81:114–115}

분배 함수

복소 구조가 $\tau$인 타원 곡선에서, 자유 페르미온의 분배 함수는 다음과 같다.^:136

${\mathcal {Z}}(\tau ,{\bar {\tau }})={\frac {1}{2|\eta (\tau )|}}\left(|\vartheta _{2}(\tau )|+|\vartheta _{3}(\tau )|+|\vartheta _{4}(\tau )|\right)$

여기서 $\vartheta _{i}(\tau )$는 야코비 세타 함수다.

• $|\vartheta _{3}|/|\eta |$는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다.
• $|\vartheta _{4}|/|\eta |$는 느뵈-슈워츠 경계 조건의 페르미온에서, $(-)^{F}$ ($F$는 페르미온 수) 연산자를 삽입한 분배 함수 $\operatorname {Tr} (-)^{F}\exp(\dots )$다. 즉, ${\frac {1}{2}}(|\vartheta _{3}|+|\vartheta _{4}|)/|\eta |$는 분배 함수에 사영 연산자 $(1+(-1)^{F})/2$를 삽입한 것과 같다. 이를 GSO 사영이라고 한다.
• $|\vartheta _{2}|/|\eta |$는 라몽 경계 조건의 페르미온의 분배 함수다.

이렇게 GSO 사영을 가하고 느뵈-슈워츠 경계 조건 및 라몽 경계 조건 둘 다 포함시키지 않으면, 분배 함수는 모듈러 변환에 더 이상 불변이지 않게 된다. 즉, 등각 장론의 일관성에 의하여 GSO 사영이 불가피하다. 끈 이론에서는 이 과정을 통해 타키온 바닥 상태가 없어지게 된다.

유령장

유령장은 끈 이론에서 (초)등각 대칭을 게이지 고정시킬 때 등장하는 파데예프-포포프 유령장이다.^{:75–77:114–117} 유령장들의 등각 장론에 등장하는 1차장들은 다음과 같다.

1차장	무게 h
1	0
$b(z)$	$\lambda$
$c(z)$	$1-\lambda$

여기서 $\lambda$는 임의의 매개변수이다. 이 경우 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.

$T(z)=-\lambda :b\partial c:\pm (\lambda -1):c\partial b:$

여기서 만약 $b$, $c$가 가환수이면(보스-아인슈타인 통계를 따르면) −, 반가환수이면 (페르미-디랙 통계를 따르면) +를 취한다.

이 이론의 중심 전하는 다음과 같다 (복부호 동순).

$c=\mp 2(6\lambda ^{2}-6\lambda +1)$

끈 이론의 임계 차원

보손 끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 $\lambda =2$인 반가환수 유령장들 $b(z),c(z),{\bar {b}}({\bar {z}}),{\bar {c}}({\bar {z}})$이 존재한다. 이에 따라, 보손 끈 이론의 유령장들의 중심 전하는

$(c,{\bar {c}})=(-26,-26)$

이다. 이에 따라서 보손 끈 이론은 26차원에 존재한다.

초끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 위의 $\lambda =2$ 반가환수 유령뿐만 아니라, 초등각 대칭의 게이지 고정에 의한, $\lambda =3/2$의 가환수 유령장들이 존재한다. (초대칭의 생성원은 반가환수이므로, 이에 대응하는 유령장은 그 반대 통계를 따른다.) 이 경우 전자를 bc 유령으로, 후자를 βγ 유령으로 부른다. βγ 유령장들의 중심 전하는

$(c,{\bar {c}})=(11,11)$

이므로, 유령장들의 총 중심 전하는 −26+11=15이다. 각 차원에서는 하나의 보손(c=1)과 하나의 페르미온(c=1/2)이 존재하므로, 초끈 이론은

$15/(1+1/2)=10$

차원의 시공간에 존재한다.

$N=2$ 초끈 이론은 세계면 이론이 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭 등각 장론인 초끈 이론이다. 이 경우 유령장들은 다음과 같다.

• 등각 대칭의 게이지 고정으로부터, $c=-26$인 bc 유령
• 초대칭 게이지 고정으로부터, βγ유령. ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭이므로 두 쌍이 존재하며, 따라서 $c=2\times 11$이다.
• 또한, ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭은 U(1) 게이지 대칭을 포함한다. 이는 $\lambda =1$ 유령 등각장론을 이루며, 보통 b′c′ 유령으로 불린다. 이는 $c=-2$이다.

${\mathcal {N}}=2$ 초대칭의 초다중항은 하나의 복소 스칼라와 하나의 복소 페르미온으로 이루어져 있으므로, 이는 $c=2(1+1/2)=3$이다. 즉, ${\mathcal {N}}=2$ 초끈 이론은

$d_{\mathbb {C} }=(-26+2\cdot 11-2)/3=2$

개의 초다중항을 포함한다. 하나의 초다중항은 두 개의 실수 스칼라장을 포함하므로, ${\mathcal {N}}=2$ 초끈 이론의 임계 차원은 4차원이다. 이 경우 일반적으로, 시공간은 복소 2차원 켈러 다양체를 이루며, 계량 부호수는 (4,0)이거나 (2,2)여야 한다.

4차원 등각 장론

4차원 등각 대수

4차원 등각 대수는 $M_{\mu \nu }$ (회전), $P_{\mu }$ (병진), $D$ (확대), $K_{\mu }$ (특수 등각 변환)로 구성된다. 이 가운데 처음 둘은 푸앵카레 대칭을 이룬다. 이들은 다음과 같은 대수를 따른다.^:98

$[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }$

$[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }$

$[K_{\mu },P_{\nu }]=2i\eta _{\mu \nu }D-2iM_{\mu \nu }$

$[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })$

$[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })$

스칼라장의 경우, 이들은 다음과 같이 표현된다.^:98

$M_{\mu \nu }=i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })$

$P_{\mu }=-i\partial _{\mu }$

$D=-ix_{\mu }\partial ^{\mu }$

$K_{\mu }=i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })$

생성원	설명	보존량	개수	질량 차원
Mμν	회전과 로런츠 변환	각운동량 $x_{\nu }T_{\mu \rho }-x_{\mu }T_{\nu \rho }$	$d(d-1)/2$	0
Pμ	병진 변환	에너지-운동량 텐서 $T_{\mu \nu }$	$d$	1
D	확대 변환	$x^{\mu }T_{\mu \nu }$:§1.1	1	0
Kμ	특수 등각 변환	$(2x_{\mu }x^{\lambda }-x^{2}\delta _{\mu }^{\lambda })T_{\lambda \nu }$:§1.1	$d$	−1

초등각 게이지 이론

4차원 ${\mathcal {N}}=2$ 초대칭 게이지 이론에서는 재규격화군 베타 함수가 하나의 고리를 가진 파인먼 도형을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 순간자에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, 초퍼텐셜이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.

게이지 군	(기본 표현 하이퍼 초다중항) 맛깔의 수
SU(N)	$2N$:§1
USp(2N)	$2N+2$:§4.4:§3.1
SO(N)	$N-2$:§3.1

초등각 화살집 게이지 이론의 경우, 위 표는 D4-막과 NS5-막을 사용한 하나니-위튼 막 만화(영어: Hanany–Witten brane cartoon)으로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU(N) 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 장력이 서로 같아야 하는 조건이다.^{:§2.1, §4.1}

초등각 화살집 게이지 이론들은 가이오토 이중성이라는 이중성들을 보인다. 이는 6차원 (2,0) 초등각 장론 (M5-막의 세계부피 이론)을 리만 곡면에 축소화하여 유도할 수 있다.

c-정리와 a-정리

존 카디는 중심 원소 c가 계의 자유도의 수를 나타내는 것을 보였다. 그 뒤 알렉산드르 자몰롯치코프는 c가 재규격화군의 흐름을 나타낸다는 사실을 보였다.^:37–39:91 즉 결합상수 $g_{i}$와 에너지 눈금 $\mu$에 대하여 함수 $c(g_{i},\mu )$를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같은 성질을 지닌다.

• $c$는 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다.
• $c$의 재규격화군 부동점 $g_{i}=g_{i}^{*}$에서는 $c(g_{i}^{*},\mu )$는 에너지에 상관없이 일정하다. 또한 이 경우 $c$의 값은 비라소로 대수의 중심원소의 값과 일치한다.

이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 $c$-정리($c$-theorem)으로 일컫는다.

c-정리는 2차원의 경우에는 증명되었으나, 아직 고차원에서 성립하는지 알려지지 않았고, 특수한 경우에는 고차원에서의 반례도 발견되었다. 짝수 차원의 시공간에서, 존 카디는 c에 해당하는 값을 정의하였고,, 이는 a라고 불리게 되었다. 카디는 a가 재규격화군 흐름에 따라 항상 감소한다는 가설을 세웠다. 이를 a-정리(영어: a-theorem)라고 한다. 4차원의 경우, a-정리는 2011년에 증명되었다. 6차원의 경우는 아직 증명되지 않았다.

2010년에는 3차원 등각 장론에 대하여 F라는 값이 정의되었다. 이는 3차원에서 c 또는 a에 대응하는 값으로 추측된다.

2010년에는 홀로그래피 원리를 사용하여, 임의의 차원에서의 c-정리들이 제안되었다. 이는 3차원에서 이미 정의된 F와 일치한다는 사실이 증명되었다.

예

대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.

• 2차원
  • 최소 모형 — 이들은 완전히 분류된, 2차원 유니터리 유리(rational) 등각 장론들이다.^{:45,97:71–72} 이들은 유한 개의 1차장들을 가지며, 등각 붓스트랩(영어: conformal bootstrap)을 통해 완전히 풀 수 있다. 이들의 중심 원소는

$c=1-{\frac {6(m-n)}{mn}}$ ($m,n$은 서로소 양의 정수)

의 꼴이다. 임계점 근처에서의 이징 모형과 3상태 포츠 모형은 최소 모형의 특수한 경우다.

• • 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론이다. 이들은 3차원 위상 양자장론의 하나인 천-사이먼스 이론과 관련있다.
  • 리우빌 장론(en:Liouville field theory)은 2차원 무리(irrational) 등각 장론이며, 하나의 딜라톤을 포함하는 2차원 양자 중력을 나타낸다. 행렬 이론과 관계있다.
  • (초)끈 이론에서, 기본 끈 위에 존재하는 세계면 이론은 2차원 (초)등각 장론이다.
• 3차원
  • M2-막 위에 존재하는 이론으로 여겨지는 ABJM 이론은 3차원 초등각 장론이다.
• 4차원
  • 4차원 ${\mathcal {N}}=4$ 초대칭 양-밀스 이론은 초등각 장론이다. 이는 IIB종 초끈 이론에서 D3-막의 세계부피 이론이며, SL(2,ℤ) S-이중성을 가진다. 이는 AdS/CFT 대응성의 원래 예이다.
• 6차원
  • M5-막 위에 존재하는 세계면 이론은 ${\mathcal {N}}=(2,0)$ 초대칭을 가지는 초등각 장론이다.

응용

등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 등각 장론이어야 한다. (초끈의 경우 등각대칭이 초등각대칭(영어: superconformal symmetry)으로 확장되게 된다.) 이 장론의 등각변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 ${\mathcal {N}}=4$ 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.

등각 장론은 통계역학에서 침투(percolation) 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.

역사

등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈(러시아어: Алекса́ндр Абрамо́вич Бела́вин)과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 제창하였다.

참고 문헌

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• Andrea Cappelli, Jean-Bernard Zuber (2010). “A-D-E classification of conformal field theories”. 《Scholarpedia》 5 (4): 10314. arXiv:0911.3242. Bibcode:2009arXiv0911.3242C. doi:10.4249/scholarpedia.10314. 
• Cardy, John (2006). 〈Boundary conformal field theory〉. 《Encyclopedia of Mathematical Physics》. Academic Press. 333–340쪽. arXiv:hep-th/0411189. doi:10.1016/B0-12-512666-2/00398-9. ISBN 978-0-12-512666-3. 
• Schweigert, C.; J. Fuchs, J. Walcher (2000년 11월). “Conformal field theory, boundary conditions and applications to string theory”. arXiv:hep-th/0011109. Bibcode:2001npqm.conf...37S. doi:10.1142/9789812799968_0002. 

같이 보기

• 등각사상
• 임계점
• 베스-추미노-위튼 모형
• 아핀 리 대수
• 끈 이론
• AdS/CFT 대응성