내접원

삼각형의 내접원을 작도하려면, 세 내각의 이등분선이 만나는 내심을 구한다.

내접원(內接圓)은 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 변들을 원의 둘레(원주) 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 내접원의 중심은 내심이라고 한다.

모든 삼각형과 모든 정다각형에는 내접원이 존재하지만, 일반적으로 다각형에 내접원이 항상 존재하는 것은 아니다.

삼각형의 내심에서 세 변에 내린 수선은 내접원의 반지름이므로 삼각형의 내심에서 세 변에 이르는 거리는 모두 같다.

삼각형과 내접원

삼각형 내부에 그을 수 있는 원 중에서 가장 큰 원은 내접원이며, 내심은 반드시 삼각형 내부에 존재한다.

삼각형의 넓이

내접원의 반지름과 삼각형의 둘레의 길이의 합을 알면 삼각형의 넓이를 쉽게 구할 수 있다.

내접원의 반지름의 길이를 r, 세 변의 길이를 각각 a, b, c, 삼각형의 넓이를 S라고 하면,

$S={\frac {r}{2}}(a+b+c)$

증명은 다음과 같다.

삼각형 ABC의 내심을 I라고 하면, 

$S=\triangle AIB+\triangle BIC+\triangle CIA$
  
$={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr$
  
$={\frac {r}{2}}(a+b+c)$

내접원의 반지름

마찬가지로 삼각형의 넓이와 삼각형의 둘레의 길이의 합을 알면 내접원의 반지름의 길이를 구할 수 있다.

내접원의 반지름의 길이를 r, 세 변의 길이를 각각 a, b, c, 삼각형의 넓이를 S라 하면,

$r={\frac {2S}{a+b+c}}$

삼각형의 넓이는 세 변의 길이를 안다면 헤론의 공식을 이용해서 구할 수 있다.

$r={\frac {2{\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}{a+b+c}}={\frac {2{\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}{2s}}={\sqrt {\frac {\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}{s}}}$

성질

멘션 정리

 이 부분의 본문은 멘션 정리입니다.

삼각형 ABC의 외접원에서 호 BC의 중점 M과 내심 I에 대해 $MI=MB=MC$이 성립한다.

오일러의 정리

 이 부분의 본문은 오일러의 정리 (기하학)입니다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 ${\sqrt {R^{2}-2Rr}}$이다.

오일러의 부등식

 이 부분의 본문은 오일러의 부등식입니다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

기타 성질

• 내심은 삼각형의 세 각의 이등분선의 교점이다.
• 내심은 세 방심을 이은 삼각형의 수심이다.
• 내접원은 구점원과 접한다.