곱 규칙

곱셈 법칙(product rule)은 두 함수의 곱을 미분하는 경우에 대한 법칙으로, 라이프니츠 법칙이라고도 한다.

두 함수를 $f$ , $g$ 라고 했을 때 두 함수를 곱한 $fg$ 를 미분한 결과는

(fg)'=f'g+fg'

가 된다.

증명

함수 f를 $f(x)=g(x)h(x)$ 로 정의한다. 이때 $f'(x)$ 를 도함수의 정의에 따라 구하면,

f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}

=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}

=\lim _{\Delta x\to 0}\left(g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}+h(x+\Delta x){\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)

여기에서 $h(x)$ 는 $x$ 에 대해 연속이므로, 다음이 성립한다.

\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)

따라서 다음의 결과가 나온다.

f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)\right]

=\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right]

=g(x)h'(x)+h(x)g'(x)

세 함수의 곱을 미분하는 경우에도 같은 방법을 사용하여 구할 수 있다.

(fgh)'=(f(gh))'=f'(gh)+f(gh)'=f'gh+fg'h+fgh'

이를 일반화하면, $f_{1}$ 부터 $f_{n}$ 까지의 함수를 곱한 함수의 도함수는 다음과 같다.

{\frac {d}{dx}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {{\frac {d}{dx}}f_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)

두 함수의 곱의 미분을 여러 번 하는 경우 다음 공식을 얻을 수 있다.

(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot f^{(n-k)}(x)\cdot g^{(k)}(x)