겔폰트-슈나이더 정리

겔폰트-슈나이더 정리(Gelfond-Schneider theorem, -定理)는 특정한 대수적 수의 조합이 초월수라는 것을 의미하는 대수적 수론의 정리이다. 소비에트 연방의 수학자 알렉산드르 겔폰트와 독일의 수학자 테오도르 슈나이더(Theodor Schneider)가 1934년 독립적으로 증명하였다. 이 정리로 인해 힐베르트의 일곱 번째 문제가 긍정적으로 해결되었다.

공식화

• a와 b가 대수적 수이고 a≠0,1 이며 b가 유리수가 아니라 하자. 그러면, a^b는 초월수이다.

응용

겔폰트-슈나이더 정리는 매우 넓은 범위의 수가 초월수임을 보였으므로 그 귀결도 다양하다. 대표적으로 다음과 같은 것들이 있다.

• $2^{\sqrt {2}}$ (겔폰트-슈나이더 상수)와 ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ 는 초월수이다.
• $e^{\pi }=(-1)^{-i}$ (겔폰트 상수)와 $e^{-\pi /2}=i^{i}$ 등은 초월수이다.

또 다른 예로 다음과 같은 것이 있다.

• $e^{\pi {\sqrt {163}}}=\left(e^{-i\pi }\right)^{\sqrt {-163}}=\left(-1\right)^{\sqrt {-163}}$(라마누잔 수) 이므로 초월수이다.

숫자 163는 헤그너 수로, 위 식의 값은 262537412640768743.99999999999925...로 정수에 가깝다.

같이 보기

• 린데만-바이어슈트라스 정리
• 베이커의 정리
• 섀뉴얼의 추측

참고 문헌

• Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3, page 10
• Feldman, N. I.; Nesterenko, Yu. V. (1998), Transcendental numbers, Encyclopedia of mathematical sciences, 44, Springer-Verlag, ISBN 3-540-61467-2, MR1603604
• Gel'fond, A. O. (1960) [1952], Transcendental and algebraic numbers, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49526-2, MR0057921

외부 링크

• 겔폰트-슈나이더 정리의 증명