t 분포

t-분포

확률밀도함수
누적분포함수
매개변수	$\nu > 0$ 자유도(실수값)
받침	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
pdf	$\frac{\Gamma \left(\frac{\nu+1}{2} \right)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2} \right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-\left(\frac{\nu+1}{2} \right)}\!$
cdf	$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma \left(\frac{\nu}{2}\right)} \end{matrix}$, 여기에서 $\,_2 F_1$은 초기하함수
기대값	$\nu>1$일때 0, 나머지는 정의되지 않음
중앙값	0
최빈값	0
분산	$\frac{\nu}{\nu-2}$($\nu>2$), $\infty$($1<\nu\le2$), 나머지는 정의되지 않음
왜도	$\nu>3$일때 0
mgf	정의되지 않음
cf	$\frac{K_{\nu/2} \left(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t| \right)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0$, $K_{\nu}(x)$는 베셀 함수

t-분포(t-distribution)는 정규 분포의 평균을 측정할 때 주로 사용되는 분포이다.

정의

t-분포는 다음 확률변수의 분포로 정의된다.

$\frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}$

여기에서 $Z$는 표준정규분포, $V$는 자유도 $\nu$인 카이제곱 분포이다.

정규분포에서의 추정

어떤 정규분포의 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^2$일 때, 그 분포에서 n개의 표본을 추출한 것을 $X_1, \cdots, X_n$라고 표기한다. 표본평균과 표본분산은 다음과 같다.

$\overline{X}_n = \frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)$

$S_n^{\;2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2$

이 값들은 실제 평균과 분산에 대한 불편추정값이다. 이때,

$V = (n-1)\frac{S_n^2}{\sigma^2}$

은 자유도가 $n-1$인 카이제곱 분포가 된다는 것이 Cochran 정리에 의해 알려져 있다. 또한

$Z = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{\sigma}$

는 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 가지며, $V, Z$는 서로 독립이라는 것을 증명할 수 있다.

이때 $Z$에서 $\sigma^2$ 대신 $S_n^{\;2}$로 대체한 추축량(pivot quantity)은 다음과 같다.

$T \equiv \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} = \left(\overline{X}_n-\mu\right)\frac{\sqrt{n}}{S_n}$

이때 $T$에는 $\sigma^2$가 사용되지 않으므로, 이 분포는 분산을 모를 때의 평균값 $\mu$를 추정하는 데에 사용이 가능하다. 이때 $T$의 분포는 자유도 n-1인 t-분포가 된다.

구간추정

자유도 n-1인 t-분포 $T$에 대해,

$\Pr(-A<T<A) = 0.9$

을 만족하는 실수 $A$는 수치적으로 계산이 가능하다. 이때,

$\Pr(-A<T<A) = \Pr\left(-A < {\overline{X}_n - \mu \over S_n/\sqrt{n}} < A \right) = \Pr\left(\overline{X}_n - A{S_n \over \sqrt{n}} < \mu < \overline{X}_n + A{S_n \over \sqrt{n}}\right) = 0.9$

이므로, 정규분포의 평균은 90%의 신뢰도로 $\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ 신뢰구간에 속하게 된다.

같이 보기

• 카이제곱 분포
• F 분포
• 정규분포