브룬 상수

수학의 수 체계
기초
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ $\mathbb{C}$ 복소수 {$\mathbb{R}(\mathrm{i})$} 허수 순허수 $\mathbb{R}$ 실수 {$\mathbb{Z} , \mathbb{Q} , \sqrt2, \pi$} $\mathbb{I}$ 무리수 {$\sqrt3, \sqrt 5, \pi,...$} $\mathbb{Q}$ 유리수 {2/3, -4/7,...} $\mathbb{Z}$ 정수 {...,-1,0,1,...} $\mathbb{N}$ 자연수 {1,2,3...} 1 $\mathbb{P}$ 소수 {2,3,5,7,...} 합성수 작도 가능한 수 대수적 수 초월수 초한수 계산 가능한 수
복소수의 확장
이원수 다원수 사원수 팔원수 십육원수 상초실수 초실수 초현실수
기타
명목수 서수 size, position {n} 기수 $\{ \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \cdots \}$ p진수 정수열 반정수 {...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...} 수학 상수 $i$ 허수 단위 $= \sqrt{-1}$ $\pi$ 원주율 ≈ 3.14159 26535 ... $e$ 자연로그의 밑 ≈ 2.71828 ( $\notin \mathbb{Q}$) $\infty$ 무한대
주요 상수
π - e - √2 - √3 - γ - φ - β* - δ - α - C2 - M1 - B2 - B4 - Λ - K - K - K - B´L - μ - EB - Ω - β - λ - D(1) - λμ - Cah. - Lap. - A-G - Λ - K-L - Apr. - θ - Bac. - Prt. - Lb. - Niv. - Sie. - Kin. - F - L

브룬 상수(Brun's constant)는 쌍둥이 소수의 역수의 합을 모두 합한 값이다.

1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 다음과 같은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했다. 이 결과를 브룬의 정리라 부른다. 두 개의 연속된 소수, 즉 쌍둥이 소수를 다루므로 보통 $B_2$라고 표기한다.

$B_2 = \left({1\over 3}+{1\over 5}\right)+\left({1\over 5}+{1\over 7}\right)+\left({1\over 11}+{1\over 13}\right)+\left({1\over 15}+{1\over 17}\right)+\cdots$

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다. 만약 이 수가 무한한 수였다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만, 이 수는 앞에서 봤듯 한 수에 수렴한다. 그러므로 브룬 상수에 의해서 쌍둥이 소수의 무한성은 증명되지도 반증되지도 못한다.

이와 비슷하게 네 쌍 소수(4의 간격을 둔 두 쌍의 쌍둥이 소수)에 대한 브룬 상수 $B_4$는 다음과 같이 정의된다.

$B_4 = \left({1\over 5}+{1\over 7}+{1\over 11}+{1\over 13}\right)+\left({1\over 11}+{1\over 13}+{1\over 17}+{1\over 19}\right)+\cdots$

이 값은 대략 0.875088380에 근접한다.