BF 모형

이론물리학에서 BF 모형(BF模型, 영어: BF model)은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.

정의

$M$이 $d$차원 매끄러운 다양체이고, 그 위에 올이 리 군 $G$인 주다발 $P\twoheadrightarrow M$이 주어졌다고 하자. 또한, $G$의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 위에 비퇴화 쌍선형 형식 $K\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식의 스칼라배를 사용한다.)

BF 모형은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.

• $A$는 $P$의 주접속이다. 즉, 게이지 보손에 해당한다.
• $B\in \Omega ^{d-2}(M;{\mathfrak {g}})$는 $M$ 위에 정의된, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$에 값을 갖는 $(d-2)$차 미분 형식이다.

두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.

$A\mapsto A+\mathrm {d} \alpha +[A,\alpha ]$

$B\mapsto B+[B,\alpha ]+\mathrm {d} \Lambda +[A,\Lambda ]$

여기서 $\alpha \in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})$이며, $\Lambda \in \Omega ^{d-3}(M;{\mathfrak {g}})$이다. 즉, $B$는 미분 형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.

$S=\int _{M}K(B\wedge F)$

여기서 $F=d_{A}A$는 $A$의 곡률 (장세기)이다.

만약 $d=3,4$일 경우, 특별히 다음과 같은 “우주 상수” $\lambda$ 항을 추가할 수 있다.

$S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B)\qquad (d=4)$

$S=\int _{M}K(B\wedge F+\lambda B\wedge B\wedge B)\qquad (d=3)$

성질

장방정식

우주 상수 항이 없을 때, BF 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

• $F=0$
• $d_{A}B=0$

따라서, 고전적으로 $A$는 평탄 주접속이고, $B$는 닫힌 미분 형식이다.

우주 상수 항을 추가하면, $d=4$에서 오일러-라그랑주 방정식은 대신 다음과 같다.

$F+2\lambda B=0$

$d_{A}B=0$

양자화

편의상, 시공간

$M=\mathbb {R} \times \Sigma$

$\dim \Sigma =d-1$

을 생각하자. 그렇다면, $M$은 $\Sigma$와 호모토피 동치이므로, 사실 $\Sigma$ 위에 $G$-주다발 $P\twoheadrightarrow \Sigma$이 주어졌다고 가정할 수 있다.

이 위에서 BF 모형의 양자화를 생각하자. 이 경우, 위상 공간 ${\mathcal {M}}_{\Sigma }$은 다음과 같다.

${\mathcal {M}}_{\Sigma }=\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}$

여기서

• ${\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}$는 $P\twoheadrightarrow \Sigma$의 평탄 주접속들의 공간이다.

이 경우, 주접속 $A_{\mu }^{a}$에 대응하는 일반화 운동량은 $B_{\mu _{1}\dotsb \mu _{d-2}}^{a}$이다. 즉, 정준 교환 관계는 다음과 같다.

$\{B_{\mu _{1}\dotso \mu _{d-2}}^{a}(x),A_{b\mu _{d-1}}(y)\}=\delta _{b}^{a}\operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }\delta (x,y)$

여기서

• $\operatorname {vol} _{\mu _{1}\dotso \mu _{d-1}}^{\Sigma }$는 $\Sigma$의 부피 형식이다.

따라서, 그 힐베르트 공간은 단순히

${\mathcal {H}}=\operatorname {L} ^{2}({\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}})$

이다.

천-사이먼스 이론과 비교했을 때, 천-사이먼스 이론의 경우 3차원에서 $\Sigma$가 리만 곡면의 구조를 가지므로, ${\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}$는 이미 켈러 다양체의 구조를 가지며, ${\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}$ 자체가 위상 공간이며, $A$는 스스로의 일반화 운동량이 된다. 그러나 BF 이론에서는 ${\mathcal {A}}_{\Sigma }^{\text{flat}}$는 위상 공간이 아니라 배위 공간이다.

우주 상수 항이 있는 경우의 양자화

우주 상수 항이 있을 경우, 양자화는 다음과 같이 달라진다. 우선, 더 이상 $F=0$이 아니게 된다. 우선, (평탄하거나 평탄하지 않을 수 있는) 주접속의 (무한 차원) 공간을 ${\mathcal {A}}_{\Sigma }$라고 하자. 그렇다면, 위상 공간은 $\mathrm {T} ^{*}{\mathcal {A}}_{\Sigma }$ 속에서,

$F+2\lambda B=0$

을 만족시키는 점들의 공간이다. 즉, 파동 함수는 $G$에 대한 게이지 변환에 대하여 불변인, ${\mathcal {A}}_{\Sigma }$ 위의 함수 $\psi$ 가운데,

$0=\left(F_{\mu \nu }^{a}-2\mathrm {i} \lambda \operatorname {vol} _{\mu \nu \rho }^{\Sigma }{\frac {\delta }{\delta A_{\rho a}}}\right)\psi$

을 만족시키는 것이다. 만약 $\Sigma$ 위의 $G$-주다발이 (위상수학적으로) 자명한 올다발이라면, 이 편미분 방정식은 하나의 일차 독립 해를 가지며, 이는 구체적으로

$\psi (A)=\exp \left(-\mathrm {i} S_{\text{CS}}(A)/4\lambda \right)$

이다. 여기서

$S_{\text{CS}}(A)=\int _{\Sigma }\operatorname {tr} \left(A\wedge \mathrm {d} A+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A\right)$

는 $\Sigma$ 위의 천-사이먼스 이론의 작용(천-사이먼스 형식)이다. 이는

${\frac {\delta S_{\text{CS}}}{\delta A_{\rho a}}}=\operatorname {vol} _{\Sigma }^{\mu \nu \rho }F_{\mu \nu }^{a}$

이기 때문이다.

성질

양-밀스 이론과의 관계

BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.

양-밀스 이론의 작용은

$S_{\text{YM}}=\int _{M}{\frac {1}{g^{2}}}K(F\wedge *F)$

이다. 여기서 $g^{2}$는 결합 상수이고, $*$는 호지 쌍대이다. 여기에 보조장 $B$를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.

$S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}K(B\wedge *B))$

이제, 결합 상수를 0으로 보내자.

$g^{2}\to 0$

그렇다면

$\lim _{g^{2}\to 0}S_{\text{YM}}'=\int _{M}K(B\wedge F)=S_{BF}$

가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

호지 쌍대 $*$를 대신 부피 형식 $\omega$와 내적

$\langle X,Y\rangle \omega =K(X\wedge *Y)$

로 쓰자. 그렇다면

$S_{\text{YM}}'=\int _{M}(K(B\wedge F)+{\frac {1}{2}}g^{2}\omega \langle B,B\rangle )$

이 된다. 이는

$\omega '=g^{2}\omega$

에만 의존하게 된다. 이는 다양체 $M$의 "부피"

$\operatorname {vol} (M)=\int _{M}\omega '=\int _{M}g^{2}\omega$

로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 $\omega '$로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

초대칭 BF 모형

BF 모형에 초대칭을 추가하여 초대칭 BF 모형(영어: supersymmetric BF model)을 정의할 수 있다. 이는 더 이상 시바르츠형 위상 양자장론이 아니며, 대신 위튼형 위상 양자장론이다. 이 경우, 장들은 다음과 같다. 모든 장은 $G$의 딸림표현을 따른다.

• 게이지 초장 $(A,\psi )$. 여기서 $A$는 U(1) 게이지 보손이며, $\psi$는 벡터 페르미온이다. 이 경우 $QA=\psi$이다.
• 라그랑주 승수 초장 $(\chi ,B)$. 여기서 $B$는 $(d-2)$차 미분 형식인 보손이며, $\chi$ 역시 $(d-2)$차 미분 형식인 페르미온이다. 이 경우 $Q\chi =B$이다.
• 유령 초장 $({\bar {\phi }},\eta )$. $Q{\bar {\phi }}=\eta$이며 $Q\eta =[{\bar {\phi }},\phi ]$이다.

이에 따라, 작용은 다음과 같다.^:§4.1

$S=Q\int (\chi F+{\bar {\phi }}d*\psi )=\int \left(BF+(-1)^{d}\chi d\psi +\eta d*\psi +{\bar {\phi }}[\psi ,*\psi ]-{\bar {\phi }}d*d\phi \right)$

초대칭이 없는 경우와 마찬가지로, 이 경우 이론은 $M$ 위의 $G$-평탄 주접속들의 모듈라이 공간의 특성을 계산한다.

만약 시공간이 3차원일 경우 ($d=3$), 이 이론은 추가로 ${\mathcal {N}}_{T}=2$ 위상 초대칭을 갖는다.^:§4.1:238 즉, 두 개의 스칼라 초전하(BRST 연산자)를 가지며, 이 둘을 섞는 SU(2) R대칭이 존재하며, 이 아래 $(\chi ,\psi )$는 SU(2)의 2차원 기본 표현을 따른다. 이 이론은 3차원 ${\mathcal {N}}=4$ 게이지 이론의 A-뒤틂과 같으며, 이는 도널드슨 이론을 3차원으로 축소화한 것과 같다.^:§4.3

외부 링크

• “BF-theory”. 《nLab》 (영어). 
• “Crane-Yetter model”. 《nLab》 (영어). 
• “Gravity as a BF theory”. 《nLab》 (영어).