BF 모형

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이론물리학에서, BF 모형(영어: BF model)은 시바르츠형 위상 양자장론의 간단한 예이다. 게이지 이론의 매우 간단한 형태이다.

정의[편집]

Md차원 위상다양체이고, 그 위에 올이 리 군 G주다발 P\twoheadrightarrow M이라고 하자. 또한, G리 대수 \mathfrak g 위에 비퇴화 이중선형형식 K\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb R이 존재한다고 하자. (보통 킬링 형식을 사용한다.)

BF 모형은 다음과 같은 두 장으로 구성되는 양자장론이다.

두 장 모두 게이지 대칭을 가진다.

A\mapsto A+d\alpha
B\mapsto B+d\Lambda

즉, B미분형식 전기역학에서의 퍼텐셜과 유사한 게이지 대칭을 가진다.

BF 모형의 작용은 다음과 같다.

S=\int_MK(B\wedge F)

여기서 F=d_AAA곡률 (장세기)이다.

이 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

  • F=0
  • d_AB=0

따라서, 고전적으로 A는 평탄한 접속(flat connection)이고, B닫힌 미분형식이다.

양-밀스 이론과의 관계[편집]

BF 모형은 부피가 0인 다양체 위의 양-밀스 이론으로 생각할 수 있다.[1]

양-밀스 이론의 작용은

S_\text{YM}=\int_M\frac1{g^2}K(F\wedge*F)

이다. 여기서 g^2결합 상수이고, *호지 쌍대이다. 여기에 보조장 B를 도입하자. 그렇다면, 양-밀스 이론은 다음과 같이 동등하게 나타낼 수 있다.

S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2K(B\wedge*B))

이제, 결합 상수를 0으로 보내자.

g^2\to0

그렇다면

\lim_{g^2\to0}S_\text{YM}'=\int_MK(B\wedge F)=S_{BF}

가 되어, BF 모형이 됨을 알 수 있다.

호지 쌍대 *를 대신 부피 형식 \omega와 내적

\langle X,Y\rangle\omega=K(X\wedge*Y)

로 쓰자. 그렇다면

S_\text{YM}'=\int_M(K(B\wedge F)+\frac12g^2\omega\langle B,B\rangle)

이 된다. 이는

\omega'=g^2\omega

에만 의존하게 된다. 이는 다양체 M의 "부피"

\operatorname{vol}(M)=\int_M\omega'=\int_Mg^2\omega

로 생각할 수 있다. 그렇다면 BF 모형의 극한은 \omega'로 측정한 부피가 0으로 가는 극한으로 생각할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Blau, Matthias, George Thompson (1993년). Lectures on 2d gauge theories: topological aspects and path integral techniques. arXiv:hep-th/9310144. Bibcode1993dgtt.rept.....B.