ADM 수식 체계

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아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다. 시공에 공간적 엽층(葉層, 영어: foliation)을 준 뒤, 엽층의 각 잎(plaque)의 (시공의 부분다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 바른틀 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약(영어: constraint)을 준다.

역사[편집]

리처드 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt), 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser), 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner)가 1959년에 도입하였다.[1]

전개[편집]

그리스 문자 첨자 \mu,\nu,\dots는 4차원 시공을, 로마자 첨자 i,j,\dots는 3차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다.

일반 상대성 이론아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.

\mathcal L=\sqrt{-\det g_{\mu\nu}}R

여기서 g_{\mu\nu}계량 텐서, R리치 스칼라다. g_{ij}에 대한 켤레 운동량 \pi^{ij}를 정의한다.

\pi^{ij}=\sqrt{-\det g_{\mu\nu}} \left(\Gamma^{0}_{pq} - g_{pq} \Gamma^{0}_{rs}g^{rs} \right) g^{ip}g^{jq}

계량 텐서의 나머지 성분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

g_{00}=-N^2
g_{0i}=N_i

g_{ij}에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.

\mathcal L=-g_{ij}\partial\pi^{ij}-NH-N_iP^i.

여기서

H=-\sqrt{-\det g_{ij}}\left(R+\frac1{\det g_{ij}}\left(\frac12(\det\pi^{ij})^2-\pi^{ij}\pi_{ij}\right)\right)
P^i=-2\nabla_j\pi^{ij}

다. 즉 NN_i라그랑주 승수가 되며, 운동 방정식에 따라 H=P^i=0이다.

보조장 NN_i는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트[*])이라고 불린다.

운동 방정식[편집]

g_{ij}\pi_{ij}에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

\partial_{t} g_{ij} = 2Ng^{-1/2} ( \pi_{ij} - \frac{1}{2} \pi g_{ij} ) + 2\nabla_{(i;j)}
\partial_{t} \pi^{ij} = -N\sqrt{g} ( R^{ij} - \frac{1}{2} R g^{ij} ) + \frac{1}{2} Ng^{-1/2}g^{ij} ( \pi^{mn}\pi_{mn} - \frac{1}{2} \pi^{2} ) - 2Ng^{-1/2} ( \pi^{in}\pi_{n}{}^{j} - \frac{1}{2}\pi\pi^{ij} )
-\sqrt{g}(\nabla^{i}\nabla^{j}N -g^{ij}\nabla^2N) + \nabla_{n}( \pi^{ij}N^{n} ) -2\pi^{n(i}\nabla_nN^{j)}

보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

H=0
P^i=0

이들은 위상 공간의 제약을 나타낸다. 보조장 NN_i 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분동형사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.

ADM 질량[편집]

ADM 질량은 선형화 일반 상대성 이론에서의 해밀토니언의 값이다. g_{\mu\nu}를 변수로 하여 양자화하면 해밀토니언이 0이지만, 계량 텐서가 점근적으로 평탄하다고 하고,

g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}

와 같이 쓰면 h_{\mu\nu}에 대한, 0이 아닌 해밀토니언을 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다.[2]:252–253

M=\frac1{16\pi}\lim_{r\to\infty}\oint dx^2\,\sqrt{\gamma^{(2)}}(\delta^{ij}\partial_ih_{jk}-\delta^{ij}\partial_kh_{ij})\hat n^k

여기서 적분은 원점에서 반지름이 r인 구면에 대하여 계산되고, n^k는 구면에 대한 수직 단위 벡터이다. \sqrt{\gamma^{(2)}}는 구면의 넓이 원소이다.

참고 문헌[편집]

  1. Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1959). "Dynamical Structure and Definition of Energy in General Relativity". Physical Review 116 (5): 1322–1330.
  2. (영어) Carroll, Sean M. (2003년). 《Spacetime and geometry: an introduction to general relativity》. Addison-Wesley. ISBN 0805387323