이차형식

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수학에서, 이차형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식을 말한다.

정의[편집]

가환환 R이 주어졌다고 하자. R 계수의, n개의 변수에 대한 이차형식은 2차 동차다항식 p=R[x_1,x_2,\dots,x_n]이다. 이는 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.

p=\sum_{1\le i\le j\le n}a_{ij}x_ix_j
a_{ij}\in R

임의의 0이 아닌 n변수 2차형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

가 아닌 환의 경우 (예를 들어, 정수환 \mathbb Z), 역사적으로 이차형식의 정의에 대해서 약간의 혼란이 있었다. 즉, 일반적인 2변수 이차 형식이

ax^2+bxy+cy^2 (a,b,c\in\mathbb Z)

인지 아니면

ax^2+2bxy+cy^2 (a,b,c\in\mathbb Z)

인지의 여부이다. 그러나 이후 격자 이론과 위상수학리 이론 등의 응용에 따라서, 전자가 옳은 정의임이 분명해졌다.

참고 문헌[편집]

  • O'Meara, O.T. (2000년). 《Introduction to Quadratic Forms》 (영어). Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 117. Berlin, New York: Springer. ISBN 978-3-540-66564-9. Zbl 0259.10018. 
  • Conway, John Horton; Francis Y. C. Fung (1997년). 《The Sensual (Quadratic) Form》 (영어). Carus Mathematical Monographs. The Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-030-5. 
  • Cassels, J.W.S. (1978년). 《Rational Quadratic Forms》 (영어). London Mathematical Society Monographs 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029. 
  • Kitaoka, Yoshiyuki (1993년). 《Arithmetic of quadratic forms》 (영어). Cambridge Tracts in Mathematics 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021. 
  • Lam, Tsit-Yuen (2005년). 《Introduction to Quadratic Forms over Fields》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023. 
  • Milnor, J.; D. Husemoller (1973년). 《Symmetric Bilinear Forms》 (영어). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73. Springer. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016. 

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