힐베르트의 영점정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

대수기하학에서, 힐베르트의 영점정리(Hilbert-零點定理, Hilbert's Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠[*])는 대수적으로 닫힌 체다항식 환의 아이디얼이 정의하는 대수적 집합을 근으로 갖는 극대 아이디얼이 원래 아이디얼의 근기라는 정리다. 대수기하학의 가장 근본적인 정리 중 하나로서, 대수적인 성질과 기하학적인 성질을 연관짓는다.

정의[편집]

k라고 하자. Kk대수적으로 닫힌 확대라고 하자. I다항식환 k[x_1,x_2,\dotsc,x_n]아이디얼이라고 하자.

다항식환 k[x_1,x_2,\dots,x_n]아이디얼 J에 대하여, 그 아이디얼의 영점(근의 집합)의 교집합 \mathcal V(J)\subset K^n를 정의할 수 있다. (여기서 K^nK에 대한 n차원 아핀공간이다.) \mathcal V(J)는 정의상 대수적 집합을 이룬다. 또한, 대수적 집합 W\subset K^n가 주어지면, 그 영점이 W를 포함하는 다항식들의 집합 \mathcal I(W)\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]를 정의할 수 있다. 이는 아이디얼을 이룬다.

힐베르트의 영점정리는 다음과 같다. 다항식환의 아이디얼 J\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]에 대하여,

\mathcal I(\mathcal V(J))=\sqrt J

이다. 여기서 \sqrt JJ근기이다.

특히, k대수적으로 닫힌 경우 (k=K), \mathcal VIk[x_1,x_2,\dots,x_n]의 근기의 집합과 k^n대수적 부분집합의 집합 사이의 전단사함수이며, 서로의 역함수이다. 다항식환의 소 아이디얼K^n대수다양체(기약 대수적 집합)에 일대일로 대응한다.

약한 형태[편집]

힐베르트의 약한 영점정리(weak Nullstellensatz)는 다음과 같다. 만약 아이디얼 J\subset k[x_1,\dotsc,x_n]이 단위 아이디얼이 아니라면 (J\ne k[x_1,\dots,x_n]), J는 영점을 가진다 (\mathcal V(J)\ne\emptyset).

만약 k가 대수적으로 닫힌 경우, k[x_1,\dots,x_n]의 모든 극대 아이디얼 J는 다음과 같은 꼴이다.

J=(x_1-a_1, \dots, x_n-a_n) (a_i\in k).

역사와 어원[편집]

다비트 힐베르트가 1893년에 증명하였다.[1] 이 정리의 독일어명 독일어: Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠[*]Null [*](영) + Stellen 슈텔렌[*](위치들) + Satz 자츠[*](정리)의 합성어이다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Hilbert, David (1893년 9월 1일). Ueber die vollen Invariantensysteme. 《Mathematische Annalen》 42 (3): 313-373. doi:10.1007/BF01444162. JFM 25.0173.01. ISSN 0025-5831.