힐베르트의 영점정리

대수기하학에서, 힐베르트의 영점정리(Hilbert-零點定理, Hilbert's Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠^[*])는 대수적으로 닫힌 체의 다항식 환의 아이디얼이 정의하는 대수적 집합을 근으로 갖는 최대 아이디얼이 원래 아이디얼의 래디컬이라는 정리다. 대수기하학의 가장 근본적인 정리 중 하나로서, 대수적인 성질과 기하학적인 성질을 연관짓는다.

정의

$k$가 체라고 하자. $K$가 $k$의 대수적으로 닫힌 확대라고 하자. $I$가 다항식환 $k[x_1,x_2,\dotsc,x_n]$의 아이디얼이라고 하자.

다항식환 $k[x_1,x_2,\dots,x_n]$의 아이디얼 $J$에 대하여, 그 아이디얼의 영점(근의 집합)의 교집합 $\mathcal V(J)\subset K^n$를 정의할 수 있다. (여기서 $K^n$는 $K$에 대한 $n$차원 아핀공간이다.) $\mathcal V(J)$는 정의상 대수적 집합을 이룬다. 또한, 대수적 집합 $W\subset K^n$가 주어지면, 그 영점이 $W$를 포함하는 다항식들의 집합 $\mathcal I(W)\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]$를 정의할 수 있다. 이는 아이디얼을 이룬다.

힐베르트의 영점정리는 다음과 같다. 다항식환의 아이디얼 $J\subset k[x_1,x_2,\dots,x_n]$에 대하여,

$\mathcal I(\mathcal V(J))=\sqrt J$

이다. 여기서 $\sqrt J$는 $J$의 래디컬이다.

특히, $k$가 대수적으로 닫힌 경우 ($k=K$), $\mathcal V$와 $I$는 $k[x_1,x_2,\dots,x_n]$의 래디컬의 집합과 $k^n$의 대수적 부분집합의 집합 사이의 전단사함수이며, 서로의 역함수이다. 다항식환의 소 아이디얼은 $K^n$의 대수다양체(기약 대수적 집합)에 일대일로 대응한다.

약한 형태

힐베르트의 약한 영점정리(weak Nullstellensatz)는 다음과 같다. 만약 아이디얼 $J\subset k[x_1,\dotsc,x_n]$이 단위 아이디얼이 아니라면 ($J\ne k[x_1,\dots,x_n]$), $J$는 영점을 가진다 ($\mathcal V(J)\ne\emptyset$).

만약 $k$가 대수적으로 닫힌 경우, $k[x_1,\dots,x_n]$의 모든 최대 아이디얼 $J$는 다음과 같은 꼴이다.

$J=(x_1-a_1, \dots, x_n-a_n)$ ($a_i\in k$).

역사와 어원

다비드 힐베르트가 1893년에 증명하였다. 이 정리의 독일어명 독일어: Nullstellensatz 눌슈텔렌자츠^[*]는 Null 눌^[*](영) + Stellen 슈텔렌^[*](위치들) + Satz 자츠^[*](정리)의 합성어이다.

참고 문헌

• (영어) Hartshorne, Robin (1977). 《[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]》. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9
• (영어) David S. Dummit, Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra》, 3판, New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7