환산 질량

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고전역학에서, 두 물체의 환산 질량(換算質量, reduced mass)은 두 물체의 질량의 조화 평균의 절반이다. 이체 문제의 풀이에 등장한다.

정의[편집]

서로 상호작용하는 두 점입자로 이루어진 를 생각하자. 두 입자의 질량이 각각 m_1m_2라고 하면, 두 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.

m_1\ddot{\mathbf r}_1=\mathbf F_{12}
m_2\ddot{\mathbf r}_2=\mathbf F_{21}=-\mathbf F_{12}.

따라서, 두 입자 사이의 거리 \mathbf r=\mathbf r_1-\mathbf r_2를 기술하는 미분 방정식은 다음과 같다.

\frac1{1/m_1+1/m_2}\ddot{\mathbf r}=\mathbf F_{12}.

이는 질량이

\mu=\frac1{1/m_1+1/m_2}=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}

인 하나의 입자를 나타내는 운동 방정식으로 해석할 수 있다. 따라서, 원래의 이체 문제는 질량이 \mu인 하나의 입자를 다루는 일체 문제와 동등하다. 여기서 \mu를 원래 이체 문제의 환산 질량이라 한다.

성질[편집]

환산 질량 \mu는 항상 \mu<m_1\mu<m_2를 만족한다. 또한, 만약 m_1<m_2라면 항상 m_1<2\mu<m_2다. 이는 2\mum_1m_2조화 평균이기 때문이다.

만약 한 물체가 다른 한 물체보다 매우 무겁다면, 두 물체의 환산 질량은 둘 가운데 더 가벼운 물체의 질량에 수렴한다. 즉, 만약 m_1\gg m_2라면 \mu\lesssim m_2이고, 반대로 m_1\ll m_2라면 \mu\lesssim m_1이다. 따라서, 예를 들어 지구와 태양을 고려할 경우 환산 질량은 지구의 질량에 매우 가깝고, 수소 원자에서 환산 질량은 전자의 질량에 매우 가깝다.