호 (수학)

기하학에서 호(弧, arc)는 이차원 평면 위의 미분가능한 곡선에서 닫힌 부분을 뜻한다. 그 예로, 원호(圓弧, circular arc)는 원둘레의 일부분을 말한다.

정의

• 이차원 평면 위의 미분가능한 곡선에서 닫힌 부분

원호

원 위에 두 점이 있을 때, 이 두 점은 원둘레를 두 개의 원호로 나눈다. 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 아니면 두 원호의 길이는 서로 다르다. 이때 짧은 호를 열호(劣弧)라고 하며, 긴 호를 우호(優弧)라고 한다.

중심이 $O$인 원 위에 두 개의 점 $A, B$가 주어져 있을 때, 두 개의 호 가운데 짧은 호를 호 $AB$로 나타내며, 두 개의 호 가운데 긴 호는 긴 호 위에 점 하나를 더 잡아(잡은 점을 $C$라고 하면) 호 $ACB$로 나타낸다.

반지름 $r$인 원 위에서 중심각 $\theta$(rad)인 호의 길이는 $r \theta$이다. 원호의 길이를 $\mathit{l}$, 원둘레 길이를 $\mathit{(circumference)}$라 하면

$\frac{\mathit{l}}{\mathit{(circumference)}} = \frac{\theta}{2 \pi}\!$

$\mathit{(circumference)}=2 \pi r\!$

이므로

$\frac{\mathit{l}}{2 \pi r} = \frac{\theta}{2 \pi}\!$

$\therefore\ \mathit{l} = r \theta\!$

중심각이 $\theta$°로 주어졌다면

$\frac{\mathit{l}}{2 \pi r} = \frac{\theta}{360}\!$

이므로

$\mathit{l} = \frac{\pi}{180} \theta\!$