향 (다양체)

미분기하학과 위상수학에서, 다양체의 향(向, 영어: orientation 오리엔테이션^[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 구는 향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 향을 줄 수 없다.

정의[편집]

위상다양체의 향[편집]

$M$ 이 $n$ 차원 위상다양체라고 하자. 그렇다면 $M$ 위의 향은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

모든 점 $x\in M$ 에 대하여, 상대 호몰로지 $H_n(M,M\setminus\{x\},\mathbb Z)$ 의 원소 $e_x$

이는 다음을 만족하여야 한다.

$M$ 에 컴팩트 집합으로 이루어진 덮개 $V_\alpha$ 와 상대 호몰로지 원소 $u_\alpha\in H_n(M,M\setminus V_\alpha)$ 가 존재하여, 모든 $x\in V_\alpha$ 에 대하여 $i\colon M\setminus V_\alpha\hookrightarrow M\setminus\{x\}$ 에 대한 당김 $i_*\colon H_n(X,X\setminus V_\alpha,\mathbb Z)\to H_n(X,X\setminus\{x\},\mathbb Z)$ 에 대한 상이 $i_*(u_\alpha)=e_y$ 이어야 한다.

미분다양체의 향[편집]

$M$ 이 $n$ 차원 매끈한 미분다양체라고 하자. 그렇다면 $M$ 위의 향은 항상 0이 아닌 $n$ 차 미분형식의 동치류다. 만약 두 $n$ 차 형식 $\alpha$ , $\beta$ 가 $\alpha=f\beta$ 의 꼴이고, $f$ 가 매끈하고, 항상 0이 아닌 함수라면 $\alpha\sim\beta$ 로 간주한다.