해석적 연속

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복소해석학에서, 해석적 연속(解析的連續, analytic continuation),은 주어진 정칙함수에 대한 정의역을 늘이는 방법이다. 해석적 접속 또는 확장이라고도 불린다.

기본 논의[편집]

자연로그허수 축에 대한 해석적 연속

복소평면 C 에서 f열린 부분집합 U 에서 정의된 정칙함수라 하자. 그리고, FC 에서의 U 를 포함하는 더 큰 열린 부분집합인 V 에서 정의된 정칙함수라 하자. 이때,

\displaystyle F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U

를 만족하면, Ff 에 대한 해석적 연속이라 한다. 다른 한편으로, FU 로의 제한f 가 된다.

이는 다시 설명하면, f 가 열린 부분집합 U 에서 정의된 정칙함수이고, gV 에서 정의된 정칙함수라고 하자. 이때, UV 의 교집합이면서 공집합이 아닌 열린 부분집합 D 에 대하여,

\displaystyle f(z) = g(z) \qquad \forall z \in D

를 만족하면, fg 로의 해석적 연속이다. 정의의 대칭성으로 인해, 또한 gf 로의 해석적 연속이다.

해석적 연속은, 실해석에서는 성립하지 않지만 복소해석에서는 성립하는 중요한 정리인 항등 정리로부터 알 수 있는 결과이며, 따라서 f 에서 g 로(g 에서 f 로)의 해석적 연속은 유일성을 가짐을 알 수 있다. 위의 수학적 논의는, (두번째의 경우로 보자면) 자칫 f 가 무한대로 발산하는 곳에서 인위적으로 값을 주는 것으로 보여질 수도 있다. 그러나, 분명 fU 에서 정의된 함수(또한, gV 에서 정의된 함수)임에 유의해야 한다. 즉, 해석적 연속은 UV 의 합집합인 열린 부분집합 W 에서 정칙이며 U 에서는 f 의 값을 갖는 정칙함수 h 는, V 에서는 위의 조건을 만족하는 g 로 유일하여,

 h(z)=
\begin{cases}
f(z), \qquad \forall z \in U \\
g(z), \qquad \forall z \in V
\end{cases}

임을 보여주는 정리이다.

해석적 연속의 잘 알려진 예 중 하나로는, 실수부가 1보다 클 때 정의된 제타 함수를 1을 제외한 복소평면 전체로 확장한 리만 제타 함수가 있다.