함수

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함수(函數, function)는 어떤 집합(정의역)의 모든 원소에 대해 또 다른 집합(공역)의 단 하나의 원소가 짝지어져 있는 관계(binomial relation)를 가리킨다. 함수는 집합과 함께 현대수학의 조직원리이며 거의 모든 자연과학에서 기초적인 개념으로 사용된다. 함수는 일차함수 (중학교 1학년/2학년-중학교 2학년은 심화된 일차함수-一次函數), 이차함수 (중학교 3학년-二次函數), 삼차함수 (고등학교 1학년-三次函數), 고차함수 (고등학교 2학년부터-高次函數)가 있다.

[편집] 역사

수학적 의미로서 함수라는 용어를 사용한 것은 1694년 라이프니츠가 처음이었다. 그는 곡선의 기울기나 곡선상의 특정한 점을 지정하기 위해 이 용어를 사용하였다. 라이프니츠가 처음 생각한 함수는 현재 미분가능한 함수라고 불리고 있다.

이후, 18세기 중반에 오일러가 $f (x) = sin x + x 3$ 와 같이 한 개 이상의 인자를 포함한 수식을 설명하기 위해 함수라는 용어를 사용하였다.

19세기에 수학자들은 수학의 모든 부분들을 재정의하기 위해 노력했다. 수학의 기반을 기하학이 아닌 산술에 놓을 것을 제안한 바이어슈트라스는, 라이프니츠보다 오일러의 함수 정의를 더 선호하였다.

19세기 말에 이르러 수학자들은 집합론에 기반해 모든 수학적 개념을 정의하고자 하였으며, 모든 수학적 개념을 집합의 하나로 정의하려고 하였다. 디리클레와 로바체프스키가 거의 동시에 함수를 현대적으로 재정의하였다. (아래 정의를 보라.)

[편집] 정의

집합 $X$ 에서 입력값을 받고 집합 $Y$ 의 원소를 출력으로 내놓는 함수 $f$ 는

$f : \, X \to Y$

와 같이 표시한다.

함수 $f$ 는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계(relation)이다.

$X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $x \, f \, y$ ( $x$ 와 $y$ 는 $f$ 관계를 갖는다.)인 원소 $y$ 가 $Y$ 에 반드시 존재한다.
$f (x) = y$ 이고 $f (x) = z$ 이면, $y = z$ 이다.

더 간추린 정의는 다음과 같다. $X$ 에서 $Y$ 로 가는 함수 $f$ 는 $X$ 의 모든 원소 $x$ 에 대해 $Y$ 의 원소 $y$ 가 유일하게 존재하는 카테시안 곱 $X \times Y$ 의 부분집합이다.

[편집] 정의역, 공역, 치역

입력값의 집합 $X$ 를 함수 $f$ 의 정의역이라 하고, 가능한 출력값의 집합 $Y$ 는 함수 $f$ 의 공역이라 한다. 함수 $f$ 의 치역은 $f$ 의 출력값들의 집합이다.

{

f (x)

:

x

는 정의역의 모든 원소}

공역과 치역의 차이는 가능한 결과값과 실제로 만들어지는 결과값의 차이이다.

[편집] 함수의 종류

함수는 정의역의 형태, 정의역과 치역 사이의 대응관계, 구조 등의 수학적 특성에 따라 여러 가지로 분류된다.

[편집] 다항함수

다항식에 의해 정의된 함수

$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_1x+a_0\,$ 를 다항함수라고 한다. 다항식의 각 항의 차수가 0 또는 양의 정수인 다항함수에서 최고차항의 차수가 $n\,$ 일 경우 이를 $n\,$ 차 함수라고 부른다.

다항함수 중 상수항뿐인 함수 $f(x)=a_0\,$ 을 상수함수라고 한다.
다항함수 중 $f(x)=x\,$ 를 항등함수라고 한다.

[편집] 다변수함수

보통 유클리드 공간의 부분집합을 정의역으로 하는 함수의 분류에 사용된다. 독립변수가 하나인 함수를 일변수 함수, 독립변수가 둘인 함수를 이변수 함수, 일반적으로 독립변수가 $n\,$ 개인 함수를 $n\,$ 변수 함수라고 한다.
다변수함수란 독립변수가 2개 이상인 함수를 아울러 이르는 말이다. 예를 들어 3차원 유클리드 공간에서 정의된 함수 $f(x,y,z)=xy+z^2\,$ 은 다변수함수(또는 삼변수함수)이다.

[편집] 단사함수, 전사함수

단사함수(單射函數, 일대일 함수, injection, 또는 injective function), 치역에 속하는 각각의 원소에 대응하는 정의역의 원소가 하나뿐인 함수이다. (참조단사함수)
전사함수(全射函數, surjection, 또는 surjective function)는 공역에 속하는 모든 원소에 대응하는 정의역이 원소가 한 개 이상 존재하는 함수를 말한다. 전사함수의 공역과 치역은 일치한다.(참조 전사함수)
전단사함수(全單射函數, bijection, 또는 bijective function) 단사함수이며 동시에 전사함수인 함수를 말한다.

[편집] 짝함수, 홀함수

짝함수(even function)는 우함수(偶函數)라고도 한다. $f : D (\subset \mathbb {R}) \rightarrow \mathbb {R}\,$ 가 $f(-x)=f(x)\,$ 를 만족하면 짝함수라고 하며,
$f(-x)=-f(x)\,$ 를 만족하면 홀함수(기함수, odd function)이라고 한다. (참조 홀함수와 짝함수)

[편집] 합성함수

함수 $f: A \rightarrow B\,$ , $g: C \rightarrow D\,$ 에서 $f(A) \subset C\,$ 일 때 아래와 같이 정의 된 함수 h를 함수 f와 g의 합성함수(composite function)라고 하고 $g \circ f\,$ 로 나타낸다.