함수 행렬식

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함수 행렬식(函數行列式, 영어: functional determinant)은 무한차원 내적공간 (주로 함수 공간)에서의 선형 연산자행렬식이다. 유한차원에서의 행렬식은 간단하게 정의할 수 있지만, 무한차원에서는 이를 엄밀히 정의하기 힘들다. 그러나 양자론에서는 경로적분을 다루기 위하여 함수 공간에서의 임의의 미분 연산자의 행렬식을 (형식적으로나마) 취한다.

정의[편집]

가환수 함수 행렬식[편집]

물리학에서는 다음과 같은 정의를 쓴다. 유한 차원의 유클리드 공간에서는 (만약 좌변이 수렴한다면) 대칭행렬 A에 대하여 다음의 식이 성립한다.

\int d^n\mathbf x\;\exp(-\tfrac12\mathbf x^\mathsf T\cdot A\mathbf x)=\frac1{\sqrt{\det(A/2\pi)}}

따라서 임의의 함수 공간에서도 (브라-켓 표기법을 쓰면) 유사하게 임의의 대칭 연산자 A에 대하여

\int D\phi\;\exp(-\tfrac12\langle\phi|A|\phi\rangle)=\frac1{\sqrt{\det(A/2\pi)}}

와 같이 정의한다.

또한, 다음 적분을 생각해 보자.

\int d^n\mathbf x d^n\mathbf y\exp(2\pi\mathrm i\mathbf x^\mathsf T\cdot A\mathbf y)=
\int d^n\mathbf x\;\delta(A\mathbf x)=1/\det A.

이에 따라 마찬가지로

\int D\phi\;D\psi\;\exp(2\pi i\langle\phi|A|\psi\rangle)=1/\det A

와 같이 정의한다.

반가환수 함수 행렬식[편집]

반가환수의 경우에는 함수 행렬식은 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 반가환수 \psi, \chi를 생각하자. 이들은 편의상 실수라 하자. 그렇다면 다음 식을 생각해 볼 수 있다.

\int d\psi d\chi \exp(\chi\psi)=\int d\psi d\chi(1+a\chi\psi)=\int d\psi a\psi = a.

다차원으로 일반화하면, 임의의 대칭 연산자 A에 대하여

\int d\psi d\chi \exp(\chi^\mathsf TA\psi)=\det A,

브라-켓 표기법으로는

\int D\psi D\chi \exp(\langle\chi|A|\psi\rangle)=\det A

이 된다.

마찬가지로

J=\begin{pmatrix}
0&1\\-1&0
\end{pmatrix}

이 주어지면,

\int d^2\psi\exp\left(\frac12a\psi^\mathsf T J\psi\right)=\int d\psi_2d\psi_1\;(1+a\psi_1\psi_2)=a=\sqrt{\det(aJ)}=\operatorname{Pf}(aJ).

여기서 \operatorname{Pf}(aJ)는 반대칭 행렬의 파피안이다. 따라서 임의의 반대칭 연산자 A에 대하여

\int d^2\psi\exp(\psi^\mathsf TA\psi)=\sqrt{\det A}=\operatorname{Pf}A

가 된다.

따라서 반가환수의 함수 행렬식은 가환수의 함수 행렬식의 역임을 알 수 있다. 즉, 일반적으로 함수 행렬식의 역을 취하려면 가환수 변수를 반가환수로 치환하면 된다.

제타 함수 조절을 통한 정의[편집]

함수 행렬식을 엄밀하게 정의하려면, 보통 제타 함수 조절을 사용한다. D가 미분 연산자라고 하고, 그 스펙트럼이 고유값들 \lambda_i만으로 이루어진다고 하자. (즉 스펙트럼이 불연속적이다.) 이 경우, s가 충분히 작으면 보통 다음이 수렴한다.

\zeta_D(s)=\sum_{i;\lambda_i\ne0}\lambda_i^{-s}.

이를 연산자 D제타 함수(zeta function)이라고 한다. 이 함수를 s가 수렴하지 않는 곳까지 해석적 연속하자. (이는 보통 리만 제타 함수들로 나타내어지게 된다.) 그렇다면

\det D=\exp(-\zeta_D'(0))

으로 정의할 수 있다. (제타 함수를 정의할 때, 유한한 행렬식을 얻기 위하여 보통 고유값이 0인 모드를 제외한다.)

컴팩트 리만 다양체 위의 라플라스-벨트라미 연산자의 행렬식을 이와 같이 정의할 수 있다. 예를 들어, 3차원 구 \mathbb S^3의 라플라스 연산자의 행렬식은

\det\Delta=\pi\exp(\zeta(3)/\pi^2)

이다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Kumagai, H (1999년). The determinant of the Laplacian on the n-sphere. 《Acta Arithmetica》 91 (3): 199–208.