하디의 부등식

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하디의 부등식(Hardy's inequality, -不等式)은 영국수학자고드프리 해럴드 하디1920년 제시한 부등식이다. 이 부등식은 하디-리틀우드-포여 정리민코프스키 부등식의 따름정리로 얻을 수 있으며, 칼레만의 부등식 등 여러 부등식을 증명하는 데 사용된다. 크게 두 가지 형태로 쓸 수 있다.

대수적 형태[편집]

{a_i} 를 0으로 수렴하는 양의 실수열이라 하고, p>1이라 하자. 그러면 다음 부등식이 성립한다.

  • \sum_{n=1}^\infty \left (\frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n}\right )^p \le \left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p.

적분 형태[편집]

f가 실수 상의 음이 아닌 값을 갖는 적분가능함수이고 1<p<∞이라 할 때, 다음 두 부등식이 성립한다.[1]

  1. \int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.
  2. \int_0^\infty \left (\int_x^\infty \frac{1}{t} f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx.

여기서 첫 번째 부등식은 p=∞일 때도 성립한다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002, 261쪽.

참고 문헌[편집]

  • 방현수, 《실해석 & 함수해석학》, 교우사, 2002