피카르-렙셰츠 이론

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미분위상수학대수기하학에서, 피카르-렙셰츠 이론(영어: Picard–Lefshetz theory)은 복소다양체 위의 정칙함수의 특이점 주위의 모노드로미를 연구하는 이론이다. 모스 이론복소수 버전이라고 생각할 수 있다.

피카르-렙셰츠 공식[편집]

복소 k차원 연결 복소다양체 M 위에 정칙함수 f\colon M\to\hat{\mathbb C}가 있다고 하자. 이러한 함수의 특이점\partial f(p_i)=0인 점 p_i\in M들이다. 특이점들이 이산 공간을 이루고, 또한 그 z_i=f(p_i)들이 서로 다르다고 하자.

일반적으로, 모든 z\in\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\}에 대하여 M_z=f^{-1}(z)위상동형이다. z\to z_i인 극한을 취하면, M_z호몰로지류 가운데 하나가 0으로 축소돼 사라지게 된다 (vanishing cycle). 이러한 호몰로지류는 항상 중간 호몰로지, 즉 (k-1)차 호몰로지류 \delta_i\in H_{k-1}(M_z)임을 보일 수 있다. (M_z는 실수 2(k-1)차원이다.) zz_i 주위로 작은 원을 그리며 변형시키면, 이에 대한 모노드로미H_{k-1}(M_z)에 대한 작용으로 표현할 수 있다. 즉, 이 모노드로미기본군 \pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)H_{k-1}(M_z)에 대한 작용으로 나타내어진다.

피카르-렙셰츠 공식에 따라서, 이 작용은 다음과 같다. w_i\in\pi_1(\hat{\mathbb C}\setminus\{z_i\};z)z_i를 반시계방향으로 도는 폐곡선이라고 하면,

w_i\colon\gamma\mapsto\gamma+(-1)^{k(k+1)/2}(\langle\gamma,\delta_i\rangle)\delta_i

이다. 여기서

\langle\gamma,\delta_i\rangle=[M_z]\smile (\gamma\frown\delta_i)

이다.

역사[편집]

에밀 피카르솔로몬 렙셰츠의 이름을 땄다. 에밀 피카르와 조르주 시마르(프랑스어: Georges Simart)는 특이점이 2개인 경우를 1897년 다뤘고,[1] 솔로몬 렙셰츠가 임의의 수의 특이점이 있는 경우를 1924년 다뤘다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Picard, Émile, Georges Simart (1897). 《Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome I》. Gauthier-Villars et Fils. JFM 28.0327.01
  2. Lefschetz, S. (1924년). 《L’analysis situs et la géométrie algébrique》. Gauthier-Villars. MR0033557. JFM 50.0663.01

바깥 고리[편집]