피보나치 수의 일반화

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피보나치 수는 다양한 형태로 일반화될 수 있다.

루카스 수[편집]

피보나치 수의 일반화인 루카스 수는 다음과 같다.

U(0) = 0
U(1) = 1
U(n + 2) = PU(n + 1) − QU(n)

피보나치 수열은 P = 1 이고 Q = −1인 특수한 경우이다.

트리보나치 수[편집]

트리보나치[1]는 다음의 점화식으로 정의된다.

 
 T_n :=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{if } n = 0; \\
    0             & \mbox{if } n = 1; \\
    1             & \mbox{if } n = 2; \\
    T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3} & \mbox{if } n > 2. \\
   \end{cases}

일반적으로 트리보나치 수는 0, 0, 1로 시작하며, 다음 트리보나치 수는 바로 앞의 세 트리보나치 수의 합이 된다.

n=0, 0, 1로 시작하는 트리보나치 수는[2]

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, ...

이다.

테트라나치 수[편집]

테트라나치[3]는 다음의 전개식으로 정의된다.stupid

 
 T_n :=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{if } n = 0; \\
    0             & \mbox{if } n = 1; \\
    0             & \mbox{if } n = 2; \\
    1             & \mbox{if } n = 3; \\
    T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}+T_{n-4} & \mbox{if } n > 3. \\
   \end{cases}

일반적으로 테트라나치 수는 0, 0, 0, 1로 시작되며, 다음 테트라나치 수는 바로 앞의 네 테트라나치 수의 합이 된다.

n=0, 0, 0, 1,...로 시작하는 테트라나치 수는[4]

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, ...

이다.

펜타나치 수[편집]

펜타나치 수수학에서 아래 점화식으로 정의되는 수열로, 피보나치 수의 확장이다.

 
 P_n :=
  \begin{cases}
    0             & \mbox{if } n = 0; \\
    0             & \mbox{if } n = 1; \\
    0             & \mbox{if } n = 2; \\
    0             & \mbox{if } n = 3; \\
    1             & \mbox{if } n = 4; \\
    P_{n-1}+P_{n-2}+P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5} & \mbox{if } n > 4. \\
   \end{cases}

헥사나치 수[편집]

헥사나치 수(Hexanacci numbers)는 수학에서 다음의 점화식으로 정의되는 수열로, 피보나치 수의 확장이다.

 
T_n :=
\begin{cases}
 0        &\mbox{if } n=0;\\
 0        &\mbox{if } n=1;\\
 0        &\mbox{if } n=2;\\
 0        &\mbox{if } n=3;\\
 0        &\mbox{if } n=4;\\
 1        &\mbox{if } n=5;\\
 T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}+T_{n-4}+T_{n-5}+T_{n-6}&\mbox{if } n>5.
\end{cases}

헥사나치 수는 0, 0, 0, 0, 0, 1로 시작하며, 다음 헥사나치 수는 바로 앞의 여섯 헥사나치 수의 합이 된다. n=0, 0, 0, 0, 0, 1...로 시작하는 헥사나치 수는 (OEIS의 수열 A001592) 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936... 이다.

그 외의 n-나치 수[편집]

이 외에도 펜타나치 수, 헥사나치 수, 헵타나치 수 등이 있다. n-나치 수들의 공통적인 특징은

  • n-1개의 0과 1개의 1로 시작한다.
  • 다음 수는 바로 앞의 n개의 수의 합이 된다.

또한 n+2번째 수부터 2n번째 수까지는 2의 거듭제곱인 수들이다.

주석[편집]

  1. 트리ㅡ(tri-)는 "3" 을 뜻하는 그리스어 어근이다.
  2. OEIS의 수열 A000073
  3. 테트라ㅡ(tetra-)는 "4" 를 뜻하는 그리스어 어근이다.
  4. OEIS의 수열 A000078