프톨레마이오스 정리의 도해 기하학 에서 프톨레마이오스 정리 (Ptolemaeus 定理, 영어 : Ptolemy's theorem ) 또는 톨레미 정리 (Ptolemy 定理)는 원 에 내접 하는 사각형 의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.
프톨레마이오스 정리 에 따르면, 내접 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
C
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
+
A
D
⋅
B
C
{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}
이는 케이시의 정리 의 특수한 경우이다.
삼각형의 닮음을 통한 증명 [ 편집 ] 삼각형의 닮음을 통한 증명의 도해 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
B
{\displaystyle AB}
B
C
{\displaystyle BC}
원주각 의 성질에 의하여
∠
B
A
C
=
∠
B
D
C
{\displaystyle \angle BAC=\angle BDC}
∠
A
D
B
=
∠
A
C
B
{\displaystyle \angle ADB=\angle ACB}
A
C
{\displaystyle AC}
∠
A
B
K
=
∠
C
B
D
{\displaystyle \angle ABK=\angle CBD}
K
{\displaystyle K}
∠
A
B
D
=
∠
C
B
K
{\displaystyle \angle ABD=\angle CBK}
△
A
B
K
{\displaystyle \triangle ABK}
△
D
B
C
{\displaystyle \triangle DBC}
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
△
K
B
C
{\displaystyle \triangle KBC}
A
K
A
B
=
C
D
B
D
{\displaystyle {\frac {AK}{AB}}={\frac {CD}{BD}}}
와
C
K
B
C
=
A
D
B
D
{\displaystyle {\frac {CK}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}
가 성립한다.
A
K
+
C
K
=
A
C
{\displaystyle AK+CK=AC}
A
B
⋅
C
D
+
B
C
⋅
A
D
=
A
K
⋅
B
D
+
C
K
⋅
B
D
=
A
C
⋅
B
D
{\displaystyle AB\cdot CD+BC\cdot AD=AK\cdot BD+CK\cdot BD=AC\cdot BD}
이다.
반전을 통한 역증명 [ 편집 ] 반전을 통한 증명의 도해 중심이
D
{\displaystyle D}
단위원 에 대한 반전 에 대한
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
A
′
,
B
′
,
C
′
{\displaystyle A',B',C'}
A
′
,
B
′
,
C
′
{\displaystyle A',B',C'}
공선점 이며,
B
′
{\displaystyle B'}
A
′
{\displaystyle A'}
C
′
{\displaystyle C'}
A
′
B
′
=
A
B
A
D
⋅
B
D
{\displaystyle A'B'={\frac {AB}{AD\cdot BD}}}
B
′
C
′
=
B
C
B
D
⋅
C
D
{\displaystyle B'C'={\frac {BC}{BD\cdot CD}}}
A
′
C
′
=
A
C
A
D
⋅
C
D
{\displaystyle A'C'={\frac {AC}{AD\cdot CD}}}
이며,
A
′
B
′
+
B
′
C
′
=
A
′
C
′
{\displaystyle A'B'+B'C'=A'C'}
A
B
A
D
⋅
B
D
+
B
C
B
D
⋅
C
D
=
A
C
A
D
⋅
C
D
{\displaystyle {\frac {AB}{AD\cdot BD}}+{\frac {BC}{BD\cdot CD}}={\frac {AC}{AD\cdot CD}}}
가 성립한다.
따름정리 [ 편집 ] 삼각 함수 항등식 [ 편집 ] 프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수 에 대한 항등식과 동치 이다.[1] :309, Historical note 10.9.2.1
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
C
{\displaystyle AC}
O
{\displaystyle O}
∠
B
O
C
=
2
θ
{\displaystyle \angle BOC=2\theta }
∠
C
O
D
=
2
φ
{\displaystyle \angle COD=2\varphi }
A
C
=
2
{\displaystyle AC=2}
B
D
=
2
sin
(
θ
+
φ
)
{\displaystyle BD=2\sin(\theta +\varphi )}
A
B
=
2
cos
θ
{\displaystyle AB=2\cos \theta }
C
D
=
2
sin
φ
{\displaystyle CD=2\sin \varphi }
A
D
=
2
cos
φ
{\displaystyle AD=2\cos \varphi }
B
C
=
2
sin
θ
{\displaystyle BC=2\sin \theta }
이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여
sin
(
θ
+
φ
)
=
cos
θ
sin
φ
+
cos
φ
sin
θ
{\displaystyle \sin(\theta +\varphi )=\cos \theta \sin \varphi +\cos \varphi \sin \theta }
가 성립한다.
프톨레마이오스 정리의 역 [ 편집 ] 프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
C
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
+
A
D
⋅
B
C
{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}
를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.
프톨레마이오스 부등식 [ 편집 ] 프톨레마이오스 부등식 (Ptolemaeus 不等式, 영어 : Ptolemy's inequality )에 따르면, 임의의 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle ABCD}
A
C
⋅
B
D
≤
A
B
⋅
C
D
+
A
D
⋅
B
C
{\displaystyle AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+AD\cdot BC}
또한, 등호가 성립할 필요충분조건 은 내접 사각형이다.
보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
[1] :309, Proposition 10.9.2
다음 가운데 하나가 성립한다.
A
B
⋅
C
D
=
A
C
⋅
B
D
+
A
D
⋅
B
C
{\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BD+AD\cdot BC}
A
C
⋅
B
D
=
A
B
⋅
C
D
+
A
D
⋅
B
C
{\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC}
A
D
⋅
B
C
=
A
B
⋅
C
D
+
A
C
⋅
B
D
{\displaystyle AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD}
공원점 이거나 공선점 이다.고대 그리스 의 천문학자 이자 수학자 인 클라우디오스 프톨레마이오스 는 이 정리를 저서 《알마게스트 》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.[1] :309, Historical note 10.9.2.1
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