푸앵카레 원판

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
푸앵카레 원판에서의 측지선들.

기하학에서, 푸앵카레 원판(영어: Poincaré disc) 또는 푸앵카레 공(영어: Poincaré ball)은 원판 또는 모양의 쌍곡공간의 모형이다.

역사[편집]

앙리 푸앵카레의 이름이 붙어 있으나, 사실 에우제니오 벨트라미가 최초로 도입하였다.[1] 벨트라미는 이 모형으로 비유클리드 기하학의 일관성을 증명하였다.

정의[편집]

n차원 푸앵카레 공은 다음과 같은 계량이 주어진 단위 열린

B=\left\{x\in\mathbb R^n\colon\sum_{i=1}^nx_i^2<1\right\}

이다. 여기에 주어진 리만 계량은 다음과 같다.

ds^2=4\frac{\sum_{i=1}^ndx_i^2}{1-\sum_{i=1}^nx^2}

구체적으로, 두 점 x,y\in B 사이의 거리는 다음과 같다.

d(x,y)=\cosh^{-1}\left(1+\frac{2\Vert x-y\Vert^2}{(1-\Vert x\Vert^2)(1-\Vert y\Vert^2)}\right)

2차원 푸앵카레 공은 푸앵카레 원판이라고 한다.

성질[편집]

쌍곡기하학의 기하학적인 개념들은 푸앵카레 공에서 다음과 같이 구현된다.

쌍곡기하학적 개념 푸앵카레 공에서의 구현
무한대 공의 경계 \partial B
측지선 공의 경계와 수직으로 교차하는 원호
측지선에 대한 반사 원에 대한 반전

참고 문헌[편집]

  1. (이탈리아어) Beltrami, Eugenio (1868년). Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante. 《Annali. di Mat., ser II》 2: 232-255.
  • Anderson, James W. (2005년). 《Hyperbolic Geometry》, 2판, Springer

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Poincaré model. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).