표준환

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대수기하학에서, 표준환(標準環, 영어: canonical ring)은 주어진 대수다양체표준 선다발의 텐서 거듭제곱들의 단면들로 구성된 등급환(graded ring)이다.

정의[편집]

X대수다양체라고 하고, 그 표준 선다발\omega_X라고 하자. 그렇다면 표준환 R(X)는 다음과 같은 등급환이다.

R(X)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(X)
R_n(X)=H^0(X,\omega_X^n)

여기서 H^0은 0차 코호몰로지, 즉 단면들의 아벨 군이다. \omega_X^n은 표준 선다발의 n승 텐서곱이다.

복수종수[편집]

대수다양체 X복수종수(영어: plurigenus, 복수 영어: plurigenera)는 표준환의 각 등급 R_n의 차원들이다.

P_n=\dim R_n(X)=h^0(X,\omega_X^n)

P_0은 항상 1이다. P_n은 모두 음이 아닌 정수들이다.

표준 모형[편집]

대수다양체 X의 표준환 R에 대한 사영공간 \operatorname{Proj}(R)표준 모형(영어: standard model)이라고 한다. 이는 모리 시게후미최소 모형 프로그램(minimal model program)의 중요한 요소다.

고다이라 차원[편집]

표준 모형의 차원을 고다이라 차원(영어: Kodaira dimension) \kappa라고 하며, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.

만약 모든 양의 정수 n에 대하여 P_n=0이라면, 고다이라 차원을 \kappa=-\infty로 정의한다. 고다이라 차원은 고다이라 구니히코의 이름을 땄다.

고다이라 차원은 다음을 만족시킨다.

\kappa(X\times Y)=\kappa(X)+\kappa(Y)

즉, 차원의 일종으로 생각할 수 있다.

성질[편집]

표준환은 쌍유리 불변량(영어: birational invariant)이다. 즉, 쌍유리 변환에 대하여 불변이다.