폴랴코프 작용

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폴랴코프 작용(영어: Polyakov action)은 보손 끈비선형 시그마 모형으로 나타내는 작용이다. 난부-고토 작용과 고전적으로 동일하나, 양자화가 수월하다.

정의[편집]

목표 공간(target space)의 좌표는 X^\mu로, 끈의 세계면의 좌표는 \xi^\alpha로 쓰자. 목표 공간의 계량 텐서g_{\mu\nu}로 쓰자. 끈의 장력을 T=1/2\pi\alpha'로 쓰자. 폴랴코프 작용은 세계면의 계량 텐서 h_{\alpha\beta}와 세계면 좌표에서 목표 공간으로의 매장 (embedding) X^\mu(\xi^\alpha)에 대한 범함수로, 다음과 같다.

S_\text{Polyakov}[h_{\alpha\beta},X^\mu]=-\frac12T\int\mathrm d^2\xi\;\sqrt{-\det h}h^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}X^\mu_{,\alpha}X^\nu_{,\beta}.

대칭[편집]

폴랴코프 작용은 다음과 같은 세 대칭을 지닌다.

이 가운데 로런츠 대칭을 제외한 나머지 두 대칭은 게이지 대칭이다. 즉, 물리적인 의미를 갖지 않는다.

게이지 대칭을 고정시켜 세계면 계량 텐서를

h_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}
-1&0\\0&1
\end{pmatrix}

의 꼴로 놓을 수 있다. 이 게이지 조건을 등각 게이지 조건(conformal gauge condition)이라고 한다. 등각 게이지에서 폴랴코프 작용은 다음과 같다.

S=\frac12T\int\mathrm d^2\xi\;g_{\mu\nu}(\dot X^\mu\dot X^\nu-X'^\mu X'^\nu).

여기서 \dot A=\partial A/\partial\sigma^0, A'=\partial A/\partial\sigma^1이다.

운동 방정식[편집]

등각 게이지 폴랴코프 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같이 단순한 파동 방정식이다.

(\ddot X-X'')^\mu=0.

여기에 게이지 고정을 위한 구속 조건(constraint)을 부여하여야 한다. 보조장 h_{\alpha\beta}에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

0=\frac1{\sqrt{-h}}\frac\delta{\delta h^{\alpha\beta}}\sqrt{-h}h^{\gamma\delta}X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}=
X_{,\alpha}\cdot X_{,\beta}-\frac12
X_{,\gamma}\cdot X_{,\delta}h^{\gamma\delta}h_{\alpha\beta}.

등각 게이지에서는 이는 다음과 같다.

0=\dot X^2+X'^2
0=\dot X\cdot X'.

이들은 에너지-운동량 텐서 T가 사라지는 것과 동등하며, 이를 방식 전개하면 비라소로 대수를 얻는다. 이는 양자화한 뒤 (연산자 순서에 대한 모호함을 제외하고는) 실재하는 상태에 대한 구속으로 적용하여야 한다.

폴랴코프 경로 적분[편집]

고전적 폴랴코프 작용을 양자화하려면 경로 적분에 넣어야 한다. 이를 폴랴코프 경로 적분(Polyakov path integral)이라고 한다. 즉 (윅 회전을 하면) 그 분배 범함수는 다음과 같다.

Z=\int dX\;dh\;\exp(-S[X,h])

여기서 S[X,g]는 좌표(X)와 세계면 계량 텐서(h)에 따르는 (유클리드) 폴랴코프 작용이다. 그러나 이는 미분동형사상 및 바일 변환이라는 게이지 대칭을 지니므로, 게이지를 고정시켜야 한다. 예를 들어 등각 게이지를 적용하여 (국소적으로) 계량 텐서를 단위행렬(h_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta})로 놓자. 게이지를 고정시키면 이에 따라 파데예프-포포프 유령장이 생기는데, 그 작용은 다음과 같다.

S_g=\frac1{4\pi}\int d^2z\;b^{ab}(\partial_ac_b+\partial_bc_a-g_{ab}\partial_ca^c)

여기서 c^a는 벡터 유령, b^{ab}는 무(無)대각합 대칭텐서 유령이다. 이를 bc(bc system)이라고 하며, 보존 끈의 임계 차원(D=26)의 계산에 중요한 역할을 한다. (대략, 바일 변칙을 없애기 위하여 적절한 수의 실재하는 마당 Xbc 계의 비라소로 중앙원소를 상쇄하여야 한다.) 반면 초끈의 경우는 보존 끈의 게이지 대칭 밖에 초대칭이 있으므로, 이에 해당하는 유령인 \beta\gamma가 필요하다. 이에 따라 초끈의 임계 차원은 D=10이다.

역사[편집]

폴랴코프 작용은 라르스 브링크 (Lars Brink), 파올로 디베키아 (Paolo Di Vecchia), 폴 호 (Paul S. Howe)[1], 스탠리 데서 (Stanley Deser), 브루노 추미노[2]가 1976년에 도입하였다. 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 이를 이용한 경로 적분을 도입하였다.[3][4]

참고 문헌[편집]

  1. Lars Brink, Paolo Di Vecchia, Paul S. Howe (1976년 12월 20일). A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string. 《Physics Letters B》 65 (5): 471471–474. doi:10.1016/0370-2693(76)90445-7.
  2. Deser, Stanley, Bruno Zumino (1976년 12월 6일). A complete action for the spinning string. 《Physics Letters B》 65 (4): 369–373. doi:10.1016/0370-2693(76)90245-8.
  3. Polyakov, Alexander M. (1981년 7월 23일). Quantum geometry of bosonic strings. 《Physics Letters B》 103 (3): 207–210. doi:10.1016/0370-2693(81)90743-7.
  4. Polyakov, Alexander M. (1981년 7월 23일). Quantum geometry of fermionic strings. 《Physics Letters B》 103 (3): 211–213. doi:10.1016/0370-2693(81)90744-9.