폰트랴긴 류

위상수학에서, 폰트랴긴 류(Pontryagin class)는 실수 벡터다발의 특성류의 하나다. 그 복소화의 천 류로 정의할 수 있다.

정의

$E$가 미분다양체 $M$ 위의 실수 벡터다발이라고 하자. $E$에 임의로 틀다발(필바인)을 잡아, 곡률 $F$를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 $\mathfrak{so}(\dim E)$의 값을 갖는 2차 미분형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

$\det(I+tF/2\pi)=\sum_{k=0}^\infty t^{2k}p_k(E)$.

우변에서 $k$가 홀수인 항들은 $F$의 반대칭성에 의하여 사라진다. $p_k$는 미분형식으로 간주하면 $E$의 틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 $p_k\in H^{4k}(M,\mathbb Q)$는 실수 벡터 다발 $E$의 위상수학적 불변량이다. 이를 $k$차 폰트랴긴 류라고 한다.

총 폰트랴긴 류(total Pontryagin class) $p$는 모든 차수들의 폰트랴긴 류의 합이다. 즉 $p=\sum_{k=0}^\infty p_k(E)=\det(I+F/2\pi)\in H^\bullet(M,\mathbb Q)$ 이다.

낮은 차수의 폰트랴긴 류

낮은 차수의 폰트랴긴 류는 다음과 같다.

$p_0=1$

$p_1=-\frac1{2(2\pi)^2}\operatorname{tr} F^2$

$p_2=\frac1{8(2\pi)^4}\left((\operatorname{tr} F^2)^2-2\operatorname{tr} F^4\right)$

천 류와의 관계

폰트랴긴 류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 실수 벡터 다발 $E$의 폰트랴긴 류는 그 다발의 복소화 $E\otimes\mathbb C$의 천 류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$p_k(E)=(-)^kc_{2k}(E\otimes\mathbb C)\in H^{4k}(M,\mathbb Q)$.

천 류 $c_k$는 $2k$차 코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 류 $p_k$는 $4k$차 코호몰로지 원소이다. ($E\otimes\mathbb C$의 홀수차 천 류는 스티펠-휘트니 류으로 나타낼 수 있다.)

역사

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1940년대에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.

같이 보기

• 천-사이먼스 형식

참고 문헌

• John W. Milnor, James D. Stasheff (1974). 《Characteristic classes》. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0
• Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector Bundles and K-Theory》, 2.1판