폰트랴긴 류

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위상수학에서, 폰트랴긴 류(Pontryagin class)는 실수 벡터다발특성류의 하나다. 그 복소화의 천 류로 정의할 수 있다.

정의[편집]

E미분다양체 M 위의 실수 벡터다발이라고 하자. E에 임의로 틀다발(필바인)을 잡아, 곡률 F를 정의할 수 있다. 이는 리 대수 \mathfrak{so}(\dim E)의 값을 갖는 2차 미분형식이다.

그렇다면 다음과 같은 생성 함수를 생각할 수 있다.

\det(I+tF/2\pi)=\sum_{k=0}^\infty t^{2k}p_k(E).

우변에서 k가 홀수인 항들은 F의 반대칭성에 의하여 사라진다. p_k미분형식으로 간주하면 E틀다발에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지는 천-베유 이론(Chern–Weil theory)에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 p_k\in H^{4k}(M,\mathbb Q)는 실수 벡터 다발 E의 위상수학적 불변량이다. 이를 k폰트랴긴 류라고 한다.

총 폰트랴긴 류(total Pontryagin class) p는 모든 차수들의 폰트랴긴 류의 합이다. 즉 p=\sum_{k=0}^\infty p_k(E)=\det(I+F/2\pi)\in H^\bullet(M,\mathbb Q) 이다.

낮은 차수의 폰트랴긴 류[편집]

낮은 차수의 폰트랴긴 류는 다음과 같다.

p_0=1
p_1=-\frac1{2(2\pi)^2}\operatorname{tr} F^2
p_2=\frac1{8(2\pi)^4}\left((\operatorname{tr} F^2)^2-2\operatorname{tr} F^4\right)

천 류와의 관계[편집]

폰트랴긴 류는 실수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이고, 천 류는 복소수 벡터 다발에 대하여 정의되는 특성류이다. 실수 벡터 다발 E의 폰트랴긴 류는 그 다발의 복소화 E\otimes\mathbb C천 류로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

p_k(E)=(-)^kc_{2k}(E\otimes\mathbb C)\in H^{4k}(M,\mathbb Q).

천 류 c_k2k코호몰로지 원소이므로, 폰트랴긴 류 p_k4k코호몰로지 원소이다. (E\otimes\mathbb C의 홀수차 천 류스티펠-휘트니 류으로 나타낼 수 있다.)

역사[편집]

러시아의 수학자 레프 폰트랴긴이 1940년대에 정의하였다. 세르게이 노비코프가 1966년에 폰트랴긴 류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.[1]

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (러시아어) Новиков, С. П. (1966년). О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы). 《Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая》 30 (1): 207–246. MR196765. Zbl 0199.58202.