페아노의 정리

페아노의 정리(Peano's theorem, -定理)는 선형대수학의 정리로, 정사각행렬의 작용소 노름을 고윳값 계산을 통해 쉽게 구하는 방법을 담고 있는 정리이다.

공식화

복소수 상에서 정의된 n차 정방행렬들의 집합에 작용소 노름을 줄 때, 임의의 정방행렬 A에 대해 이 노름은 다음의 성질을 만족한다.

$\parallel A\parallel =\parallel A^{\dagger }\parallel ={\sqrt {\parallel A^{\dagger }A\parallel }}={\sqrt {\parallel AA^{\dagger }\parallel }}.$

또 행렬 $A^{\dagger }A$는 항상 에르미트 행렬이고, 각 고윳값이 음이 아닌 실수가 된다. 이 행렬의 고윳값 중 가장 큰 값을 $\lambda _{max}$ 라 하면, 다음이 성립한다.

$\parallel A\parallel ={\sqrt {\lambda _{max}}}.$

특히 A 자체가 에르미트 행렬일 경우, 각 고윳값은 모두 실수가 되는데 이 중 절댓값이 가장 큰 것을 $\lambda$ 라 하면, 다음이 성립한다.

$\parallel A\parallel =|\lambda |.$

같이 보기

• 노름공간
• 작용소 노름
• 행렬 노름

외부 링크

• Computing the norm of a matrix, 코네티컷 대학교의 키스 콘래드(Keith Conrad).