팔팅스의 정리

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팔팅스의 정리(영어: Faltings’ theorem) 또는 모델 가설(Mordell conjecture)은 유리수체에 대하여 정의된, 종수가 2 이상인 대수곡선은 유한개의 유리점을 가진다는 정리다. 디오판토스 방정식의 이론에 핵심적인 역할을 한다.

역사[편집]

1922년에 루이스 모델은 종수가 1인 대수곡선(타원곡선)의 유리점에 대한 모델-베유 정리를 증명하였고, 이에 대한 자연스러운 확장으로 종수가 2 이상인 대수곡선에 대하여 이 정리를 추측하였다. 이후 이는 "모델 가설"이라고 불리게 되었다.

모델 가설은 오랫동안 난제로 남아 있었다. 1983년 독일수학자 게르트 팔팅스가 모델 가설을 증명하였고,[1] 그 뒤 "팔팅스의 정리"로 불리게 되었다. 팔팅스는 모델 가설을 테이트 가설(Tate conjecture)로 축소시킨 뒤, 네롱 모형(Néron model) 등 대수기하학적 기법을 사용하여 모델 가설을 증명하였다.

팔팅스 이후 여러 새로운 증명법들이 발견되었다. 파울 보이타(Paul Vojta)는 팔팅스와 전혀 다른 방법으로 팔팅스의 정리를 증명하였다. 엔리코 봄비에리가 이 증명을 단순화한 증명을 1990년 제시하였다.[2]

개요[편집]

다음과 같은 아주 일반적인 질문을 할 수 있다: 유리수들의 위에서 정의된 대수 곡선 C가 주어져 있다고 하자. 이 곡선 C가 매끈하다고 가정하자. 그러면, 이 대수 곡선 위에는 얼마나 많은 유리 점들이 존재할까?

답은, 이 대수 곡선의 종수(genus) g에 따라 다르다. 다른 많은 정수론에서의 결과들처럼, 3가지의 경우가 있다: g = 0, g = 1, g>1.

g=0인 경우는 아주 오랫동안 답이 잘 알려져 있었다. g=1인 경우, 수학자 모델이 결과를 증명했으며, 이 결과를 본 후, 모델 자신이 g>1인 경우에 대해서 가설을 남겼는데, 이것이 바로 유명한 모델 가설이다.

정의[편집]

팔팅스 정리에 따르면, 유리수체 위에 정의된, 종수가 g>1대수곡선 C은 유한개의 유리점들을 가진다.

팔팅스 정리는 대수곡선의 유리점의 분류를 다음과 같이 완성시킨다. 유리수체에 대한 임의의 대수곡선의 유리점의 수는 종수에 따라 다음과 같다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Faltings, Gerd (1983년). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. 《Inventiones Mathematicae》 73 (3): 349–366. doi:10.1007/BF01388432.
  2. (영어) Bombieri, Enrico (1990년). The Mordell conjecture revisited. 《Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.》 17 (4): 615–640.
  • (영어) Hindry, Marc, Joseph H. Silverman (2000년). 《Diophantine geometry》, Graduate Texts in Mathematics 201. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98981-1
  • (영어) S. Lang (1997년). 《Survey of Diophantine geometry》. Springer, 101–122쪽. ISBN 3-540-61223-8

바깥 고리[편집]

  • (영어) Parshin, A. N. (2001). Mordell conjecture. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.