파피안

수학에서, 파피안(Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다.

정의

정사각 $2n\times 2n$ 반대칭 행렬 $A$의 고유값이 $\pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n$이라고 하자. 그렇다면 $A$의 파피안 $\operatorname{pf}(A)$는 $\lambda_i$들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\operatorname{pf}A=\operatorname{pf}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix} \end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$.

성질

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

$\operatorname{pf}\begin{bmatrix} 0 & a & b & c \\ -a & 0 & d & e \\ -b & -d & 0& f \\-c & -e & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc$.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고유값은 $\pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n$의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

$\det A=\lambda_1^2\lambda_2^2\cdots\lambda_n^2=\left(\operatorname{pf}A\right)^2$

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 $A$는 다음과 같이 2차 미분형식 $\omega$로 나타낼 수 있다.

$\omega=\frac12\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}A_{ij}dx^i\wedge dx^j$.

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

$\omega^n/n!=\operatorname{pf}(A)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{2n}$.