파피안

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수학에서, 파피안(Pfaffian)은 짝수 차원의 정사각 반대칭 행렬에 대하여 정의하는 다항식이다. 이러한 행렬의 행렬식은 파피안의 제곱이다. 요한 프리드리히 파프의 이름을 땄다.

정의[편집]

정사각 2n\times 2n 반대칭 행렬 A고유값\pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n이라고 하자. 그렇다면 A파피안 \operatorname{pf}(A)\lambda_i들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

\operatorname{pf}A=\operatorname{pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix} 0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.

성질[편집]

파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.

\operatorname{pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고유값은 \pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n의 꼴이므로, 그 행렬식은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.

\det A=\lambda_1^2\lambda_2^2\cdots\lambda_n^2=\left(\operatorname{pf}A\right)^2

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 A는 다음과 같이 2차 미분형식 \omega로 나타낼 수 있다.

\omega=\frac12\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}A_{ij}dx^i\wedge dx^j.

그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.

\omega^n/n!=\operatorname{pf}(A)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{2n}.