파투의 보조정리

파투의 보조정리(프랑스어: Lemme de Fatou 렘 드 파투^[*], Fatou's lemma, -補助定理)는 실해석학의 보조정리로, 르베그 지배수렴정리 등 여러 중요한 르베그 적분의 성질과 관련한 정리의 증명에 이용된다. 프랑스 수학자 피에르 파투(Pierre Fatou)의 이름이 붙어 있다.

공식화

파투의 보조정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다. {f_n}이 어떤 측도공간 X 상에서 정의된 음이 아닌 실수로 가는 가측함수열이라면, 다음의 부등식이 성립한다.

$\int_{X} (\liminf_{n \to \infty} f_n) d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_{X} f_n d\mu.$

증명

$g_k(x) := \inf(f_i(x)|i \ge k)$ 라 두면, $g_k \le f_k$ 이므로,

$\int_{X} g_k d\mu \le \int_{X} f_k d\mu,$

이다. 이제 단조수렴정리에 따르면,

$\int_{X} (\liminf_{n \to \infty} f_n) d\mu = \int_{X} (\lim_{n \to \infty}g_n) d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_{X} g_n d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_{X} f_n d\mu.$

을 얻어, 증명이 끝난다.

참고 문헌

• Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. Singapore: McGraw-Hill, 1987.