파인만-카츠 공식

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파인만-카츠 공식(Feynman-Kac formula)은 확률론에서 확률미분방정식편미분방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률미분방정식을 만족시키는 확률과정을 찾기 위해서 어떤 편미분방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

원리[편집]

파인만-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 g(x,t)마팅게일일 경우 미분계수 dg(x,t)에서 시간 t에 대한 변화율을 나타내는 항인 dt가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 dg/dt를 0으로 만들 수 있는 편미분방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 g를 발견할 수 있다는 것이 파인만-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 최초조건(initial condition) X(t)=x가 주어진 이토 확률과정 X(u)에 대한 보렐 측도가능함수 f(X(u))가 시점 T에 갖는 값에 대한 시점 t의 기댓값 g(X(t),t)마팅게일임을 이용하여 g를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분방정식과 풀이에 필요한 최종조건(terminal condition)을 밝혀낸다.

내용[편집]

이토 확률과정 X(u)에 대한 확률미분방정식이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

dX(u) = \mu(X(u),u)\,dt + \sigma(X(u),u)\,dW(u)

여기서 W위너 과정을 나타낸다. 만약 T>0 이고 t\in[0,T]와 초기 조건 X(t)=x가 주어졌을 경우, 보렐 가측함수 f(X(u))의 시점 T에 대한 기댓값 g(x,t)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

g(x,t)=\mathbb{E}[f(X(T))\vert X(t)=x]

만약 모든 x,t에 대해 \vert g(x,t)\vert<\infty라고 가정할 경우, g(x,t)는 다음 편미분방정식을 만족시킨다.

\frac{\partial}{\partial t}g(x,t)+\mu\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}g(x,t)=0

또한, 모든 x에 대해 g(x,t)는 최종조건 g(T,x)=f(x)을 만족시킨다.

증명[편집]

g(X(t),t)의 마팅게일 특성[편집]

만약 시점 0\le s\le t\le T가 주어졌을 경우, 시점 stf(X(T))가 갖는 기댓값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(s)]=g(X(s),s),
\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(t)]=g(X(t),t)

이 두 식과 반복조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 sg(t,X(t))가 갖는 기댓값을 다음과 같이 정리할 수 있다.


\begin{align}
\mathbb{E}[g(X(T),t))\vert \mathcal{F}(s)] & =\mathbb{E}[\,\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(t)]\,\vert\mathcal{F}(s)] \\
& =\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(s)]=g(X(s),s)
\end{align}

따라서 g(X(t),t)마팅게일이다.

편미분방정식의 도출[편집]

시점 0부터 시작하는 이토 확률과정 X(u)에 대한 확률미분방정식의 해답을 X(t)라고 하자. g(X(t),t)가 마팅게일이므로 미분계수 dg(X(t),t)에서 시간 t에 대한 변화율을 나타내는 항인 dt는 반드시 0이다. 미분계수 dg(X(t),t)를 정리하면 다음과 같다.


\begin{align}
dg(X(t),t) & = \frac{\partial}{\partial t}g(X(t),t)dt+\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dX+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}g(X(t),t)dXdX  \\
& = \frac{\partial}{\partial t}g(X(t),t)dt+\mu\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dt+\sigma\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dW(t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}g(X(t),t)dt \\
& = \left[\frac{\partial}{\partial t}g(X(t),t)+\mu\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}g(X(t),t)\right]dt+\sigma\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dW(t)
\end{align}

따라서 항 dt의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 x에 대해 g(X(t),t)가 만족시키는 편미분방정식을 구할 수 있다.

\frac{\partial}{\partial t}g(x,t)+\mu\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}g(x,t)=0