파인만-카츠 공식

파인만-카츠 공식(Feynman-Kac formula)은 확률론에서 확률미분방정식과 편미분방정식이 어떤 관계를 맺고 있는지를 나타낸 공식이다. 이 공식을 통해 특정 확률미분방정식을 만족시키는 확률과정을 찾기 위해서 어떤 편미분방정식을 풀어야 하는지를 알 수 있으며, 따라서 이 공식은 금융공학에서 어떤 자산이 이토 확률과정을 따르는 것으로 가정했을 때 이 자산을 기초자산으로 하는 파생상품의 가격을 어떻게 구해야 하는지에 대한 해답을 찾기 위한 도구로 유용하게 쓰이고 있다.

원리

파인만-카츠 공식의 기본적인 근거는 어떤 함수 $g(x,t)$가 마팅게일일 경우 미분계수 $dg(x,t)$에서 시간 $t$에 대한 변화율을 나타내는 항인 $dt$가 반드시 0이라는 데 있다. 따라서 만약 $dg/dt$를 0으로 만들 수 있는 편미분방정식을 찾을 수 있다면 이를 풀이함으로써 $g$를 발견할 수 있다는 것이 파인만-카츠 공식의 핵심적인 내용이다. 이 공식은 최초조건(initial condition) $X(t)=x$가 주어진 이토 확률과정 $X(u)$에 대한 보렐 측도가능함수 $f(X(u))$가 시점 $T$에 갖는 값에 대한 시점 $t$의 기대값 $g(X(t),t)$가 마팅게일임을 이용하여 $g$를 찾아내기 위해서 풀어야 할 편미분방정식과 풀이에 필요한 최종조건(terminal condition)을 밝혀낸다.

내용

이토 확률과정 $X(u)$에 대한 확률미분방정식이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자.

$dX(u) = \mu(X(u),u)\,dt + \sigma(X(u),u)\,dW(u)$

여기서 $W$는 위너과정을 나타낸다. 만약 $T>0$ 이고 $t\in[0,T]$와 최초조건 $X(t)=x$가 주어졌을 경우, 보렐 측도가능함수 $f(X(u))$의 시점 $T$에 대한 기대값 $g(x,t)$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$g(x,t)=\mathbb{E}[f(X(T))\vert X(t)=x]$

만약 모든 $x,t$에 대해 $\vert g(x,t)\vert<\infty$라고 가정할 경우, $g(x,t)$는 다음 편미분방정식을 만족시킨다.

$\frac{\partial}{\partial t}g(x,t)+\mu\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}g(x,t)=0$

또한, 모든 $x$에 대해 $g(x,t)$는 최종조건 $g(T,x)=f(x)$을 만족시킨다.

증명

$g(X(t),t)$의 마팅게일 특성

만약 시점 $0\le s\le t\le T$가 주어졌을 경우, 시점 $s$와 $t$에 $f(X(T))$가 갖는 기대값은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(s)]=g(X(s),s),$

$\mathbb{E}[f(X(T))\vert \mathcal{F}(t)]=g(X(t),t)$

이 두 식과 반복조건(iterated condition)의 법칙을 활용해 시점 $s$에 $g(t,X(t))$가 갖는 기대값을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$\begin{align} \mathbb{E}[g(X(T),t))\vert \mathcal{F}(s)] & =\mathbb{E}[\,\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(t)]\,\vert\mathcal{F}(s)] \\ & =\mathbb{E}[f(X(T))\vert\mathcal{F}(s)]=g(X(s),s) \end{align}$

따라서 $g(X(t),t)$는 마팅게일이다.

편미분방정식의 도출

시점 0부터 시작하는 이토 확률과정 $X(u)$에 대한 확률미분방정식의 해답을 $X(t)$라고 하자. $g(X(t),t)$가 마팅게일이므로 미분계수 $dg(X(t),t)$에서 시간 $t$에 대한 변화율을 나타내는 항인 $dt$는 반드시 0이다. 미분계수 $dg(X(t),t)$를 정리하면 다음과 같다.

$\begin{align} dg(X(t),t) & = \frac{\partial}{\partial t}g(X(t),t)dt+\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dX+\frac{1}{2}\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}g(X(t),t)dXdX \\ & = \frac{\partial}{\partial t}g(X(t),t)dt+\mu\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dt+\sigma\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dW(t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}g(X(t),t)dt \\ & = \left[\frac{\partial}{\partial t}g(X(t),t)+\mu\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}}g(X(t),t)\right]dt+\sigma\frac{\partial}{\partial X}g(X(t),t)dW(t) \end{align}$

따라서 항 $dt$의 계수를 분리해 내면 다음과 같이 모든 $x$에 대해 $g(X(t),t)$가 만족시키는 편미분방정식을 구할 수 있다.

$\frac{\partial}{\partial t}g(x,t)+\mu\frac{\partial}{\partial x}g(x,t)+\frac{1}{2}\sigma^{2}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}g(x,t)=0$