파울리-루반스키 벡터

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파울리-루반스키 벡터(프랑스어: vecteur de Pauli-Lubański)는 운동량 4차원 벡터각운동량 4차원 텐서의 "4차원 벡터곱"인 유사벡터다. 대개 W^\mu로 나타낸다. 그 제곱 W^2은 각운동량의 노름으로서, 질량 P^2과 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드의 유제프 루반스키 (폴란드어: Józef Kazimierz Lubański)가 1942년에 도입하였다.

정의[편집]

다음과 같이 정의한다. (여기서 \epsilon레비치비타 유사텐서고, J^{\mu\nu}는 각운동량, P는 운동량이다.)

W_{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^{\sigma}

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

[P^{\mu},W^{\nu}]=0
[J^{\mu \nu},W^{\rho}]=i ( g^{\rho \nu} W^{\mu} - g^{\rho \mu} W^{\nu})

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

P\cdot W=0

그 제곱 W^2카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

[P,W^2]=0
[J,W^2]=0

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 \vec J을 생각하면

W^2=-m^2(\vec J\cdot\vec J)

여기서 m은 질량이다.

양자화[편집]

유질량장의 경우 W^2는 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

W^2=W_{\mu}W^{\mu}=m^2 s(s+1)

여기서 s는 스핀이다.

무질량장의 경우 W^2=0이고, W^0=-\vec J\cdot\vec P나선도를 나타낸다.

참고 문헌[편집]