파울리-루반스키 벡터

파울리-루반스키 벡터(프랑스어: vecteur de Pauli-Lubański)는 운동량 4차원 벡터와 각운동량 4차원 텐서의 "4차원 외적"인 유사벡터다. 대개 $W^\mu$로 나타낸다. 그 제곱 $W^2$은 각운동량의 노름으로서, 질량 $P^2$과 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드의 유제프 루반스키 (폴란드어: Józef Kazimierz Lubański)가 1942년에 도입하였다.

정의

다음과 같이 정의한다. (여기서 $\epsilon$은 레비치비타 유사텐서고, $J^{\mu\nu}$는 각운동량, $P$는 운동량이다.)

$W_{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^{\sigma}$

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

$[P^{\mu},W^{\nu}]=0$

$[J^{\mu \nu},W^{\rho}]=i ( g^{\rho \nu} W^{\mu} - g^{\rho \mu} W^{\nu})$

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

$P\cdot W=0$

그 제곱 $W^2$은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

$[P,W^2]=0$

$[J,W^2]=0$

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 $\vec J$을 생각하면

$W^2=-m^2(\vec J\cdot\vec J)$

여기서 $m$은 질량이다.

양자화

유질량장의 경우 $W^2$는 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고유값은 다음과 같다.

$W^2=W_{\mu}W^{\mu}=m^2 s(s+1)$

여기서 $s$는 스핀이다.

무질량장의 경우 $W^2=0$이고, $W^0=-\vec J\cdot\vec P$는 나선도를 나타낸다.

참고 문헌

• J. K. Lubański, Physica 9:310. doi:10.1016/S0031-8914(42)90113-7
• —. Physica 9:325. doi:10.1016/S0031-8914(42)90114-9