파울리-루반스키 벡터 (프랑스어 : vecteur de Pauli-Lubański )는 운동량 4차원 벡터 와 각운동량 4차원 텐서의 "4차원 벡터곱 "인 유사벡터 다. 대개
W
μ
{\displaystyle W^{\mu }}
로 나타낸다. 그 제곱
W
2
{\displaystyle W^{2}}
은 각운동량의 노름으로서, 질량
P
2
{\displaystyle P^{2}}
과 함께 푸앵카레 군 의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드 의 유제프 루반스키 (폴란드어 : Józef Kazimierz Lubański )가 1942년에 도입하였다.
다음과 같이 정의한다. (여기서
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
은 레비치비타 유사텐서 고,
J
μ
ν
{\displaystyle J^{\mu \nu }}
는 각운동량,
P
{\displaystyle P}
는 운동량이다.)
W
μ
=
1
2
ϵ
μ
ν
ρ
σ
J
ν
ρ
P
σ
{\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma }}
파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.
[
P
μ
,
W
ν
]
=
0
{\displaystyle [P^{\mu },W^{\nu }]=0}
[
J
μ
ν
,
W
ρ
]
=
i
(
g
ρ
ν
W
μ
−
g
ρ
μ
W
ν
)
{\displaystyle [J^{\mu \nu },W^{\rho }]=i(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu })}
또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.
P
⋅
W
=
0
{\displaystyle P\cdot W=0}
그 제곱
W
2
{\displaystyle W^{2}}
은 카시미르 불변량 을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.
[
P
,
W
2
]
=
0
{\displaystyle [P,W^{2}]=0}
[
J
,
W
2
]
=
0
{\displaystyle [J,W^{2}]=0}
그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량
J
→
{\displaystyle {\vec {J}}}
을 생각하면
W
2
=
−
m
2
(
J
→
⋅
J
→
)
{\displaystyle W^{2}=-m^{2}({\vec {J}}\cdot {\vec {J}})}
여기서
m
{\displaystyle m}
은 질량이다.
양자화 [ 편집 ]
유질량장의 경우
W
2
{\displaystyle W^{2}}
는 입자의 총 스핀 을 나타낸다. 그 고윳값 은 다음과 같다.
W
2
=
W
μ
W
μ
=
m
2
s
(
s
+
1
)
{\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=m^{2}s(s+1)}
여기서
s
{\displaystyle s}
는 스핀이다.
무질량장의 경우
W
2
=
0
{\displaystyle W^{2}=0}
이고,
W
0
=
−
J
→
⋅
P
→
{\displaystyle W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}}
는 나선도 를 나타낸다.
참고 문헌 [ 편집 ]