토리첼리의 정리

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TorricelliLaw.svg
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토리첼리의 정리(Torricelli's theorem)는 수조 측면 하부의 대기와 개방된 비교적 작은 구멍을 통하여 유출되는 유체(Fluid)의 속도(Velocity) 값을 계산하는 공식으로, 이 때 구멍이 작아 수조의 수위 하강 속도는 무시하고 계산한다. 베르누이 정리 중 비압축성 흐름(incompressible flow) 방정식의 변형된 수식이다.

공식[편집]

기본 공식:

\Rightarrow v=\sqrt{2gh}
v(m/s) - 유체 속도
g(m/s2)- 중력가속도
h(m) - 기준점에서의 높이

아래와 같은 공식에서 유도됩니다. (단, 위의 h 는 아래의 z 와 같습니다. 기호만 다름)

{v^2 \over 2}+gz+{p\over\rho}=\text{constant}
gz+{p_{atm}\over\rho}={v^2 \over 2}+{p_{atm}\over\rho}
\Rightarrow v^2=2gz\, :\Rightarrow v=\sqrt{2gz}

조건[편집]

비압축성 유체(incompressible fluid), 비점성 유체(inviscid fluid), 대기(1atm : atmosphere)에 개방, 수위의 하강 속도를 무시할 정도의 작은 구멍(토출구)

그림1

h1은 기준면(수조바닥)에서 수조 수위까지의 높이

h2는 기준면(수조바닥)에서 토출면(작은 구멍)까지의 높이

h는 토출면(작은 구멍)에서 수조 수위까지의 높이

베르누이 방정식에서의 유도[편집]

ν12/2 + gh1 + p1/ρ = ν22/2 + gh2 + p2/ρ 에서

  • p1 과 p2는 모두 대기압 상태이므로 같은 값을 가지고, ρ는 비압축성유체로 정의 되므로 p1/ρ 와 p2/ρ 는 동일한 값을 가짐

→ ν12/2 + gh1 + p1 = ν22/2 + gh2 + p2 → ν12/2 + gh1 = ν22/2 + gh2

  • ν1 은 주어진 공식의 조건에서 수위의 하강 속도를 무시하므로 0으로 간주함

ν12/2 + gh1 = ν22/2 + gh2 → gh1 = ν22/2 + gh2 → gh1 - gh2 = ν22/2 → g(h1-h2) = ν22/2

  • h1-h2는 토출면(작은 구멍)에서 수조 수위까지의 높이이므로

→ g(h1-h2) = ν22/2 → gh = ν22/2 → ν22/2 = gh

  • 양변에 2를 곱하면

→ ν22 = 2gh → ν = √2gh 로 유도됨.