원환면

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원환체(torus)

기하학에서, 원환면(圓環面, 영어: torus 토러스^[*])이란 원을 삼차원 공간 상에서 원을 포함하는 평면 위의 직선을 축으로 회전하여 만든 회전면(surface of revolution)이다. 대부분의 교과서에서는 이 직선이 원과 만나지 않음을 가정한다. 원환면을 표면으로 하는 입체를 원환체(圓環體, toroid 토로이드^[*])라고 한다.

위상수학에서는 원환면은 두 원의 곱집합 $S^1 \times S^1$과 위상동형이다. 또한 종수(genus) 2의 2차원 컴팩트 다양체(compact 2-manifold)이기도 하다. 원환면은 삼차원 유클리드 공간에 매립(embed) 된다.

영명 영어: torus 토러스^[*]는 부풂 또는 쿠션을 의미하는 라틴어: tŏrus 토루스에서 유래하였다.

좌표계로 표현하기

원환면은 다음 식으로 매개변수화 할 수 있다.

$x(u, v) = (R + r \cos{v}) \cos{u} \,$

$y(u, v) = (R + r \cos{v}) \sin{u} \,$

$z(u, v) = r \sin{v} \,$

여기서 각 변수의 범위와 의미는 다음과 같다.

$u, v$는 구간 $[0, 2\pi)$의 원소이다.

$R$은 원환면의 중심에서 튜브의 표면까지의 거리이다.

$r$은 튜브의 반지름이다.

이 밖에도 다양한 방법으로 표현가능하다.

원환체의 부피와 겉넓이

원환면의 중심에서 튜브의 표면까지의 거리가 $R$이고 튜브의 반지름이 $r$인 원환체의 부피는 $2 \pi^2 r^2 R$이고, 원환면의 넓이(원환체의 겉넓이)는 $4 \pi^2 rR$이다.

위상수학과의 관계

원환체는 두 원의 곱집합(Cartesian product)이다.

위상수학적으로, 원환체는 두 원의 곱집합(Cartesian product) $S^1 \times S^1$으로 정의된다.

원환체를 2차원 평면에서 정수만큼의 평행이동하여 겹치는 점들을 모두 동치 관계로 묶은 것으로 묘사가 가능하다. 즉,

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).

원환체의 기본군은 원의 기본군의 곱집합이다. 즉,

$\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$

구멍이 하나 뚫린 원환면의 안과 밖을 뒤집는 과정

원환면에 구멍을 하나 내면 안과 밖을 뒤집을 수 있다. 이때, 원환면의 튜브를 감싸는 원은 원환체의 가운데 빈 구멍을 둘러 돌아가는 원이 되고, 그 역도 성립한다.

고차원 원환면

원환면은 고차원에서 일반화할 수 있다. 2차원 원환면이 두 개의 원을 곱집합 한 것이므로 고차원 원환면은 여러개의 원을 곱하여 만든다. 즉,

$\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n.$

1차원 원환면은 원이다. 3차원 원환면은 시각화하기 어렵다. 2차원 원환면처럼 n차원 원환면은 $\mathbb{R}^n$을 모든 축에서 정수부분을 잘라 만든 동치 관계로 표현할 수 있다. 즉, n차원 원환면는 정수 격자를 법(modulo)으로 하는 $\mathbb{R}^n$이라 보면 된다. 마찬가지로, n차원 원환면는 n차원 하이퍼큐브의 모든 반대면을 접착시켜 얻을 수도 있다.

n차원 원환면은 n차원 컴팩트 다양체이자 컴팩트 아벨 리 군이다. n차원 원환면의 기본군은 랭크 n의 자유 아벨 군이다.

색칠하기 문제

사색문제와 비슷한 문제를 2차원 원환면 위에서 생각해 볼 수 있다. 즉, 원환면에 임의의 영역이 나뉘어 있을 때, 인접한 영역을 다른 색으로 항상 색칠가능한 최소의 색의 개수를 생각해볼 수 있다. 7개의 색이 있으면 이러한 작업이 항상 가능하다. 물론, 평면에서는 네 가지로 충분하다.

이러한 구성을 통해 경계를 구별하는데 최소한 일곱개의 색이 필요함을 알 수 있다.

자르기

표준적인 2차원 원환면을 n개의 평면으로 자를 경우 많아야 $\frac{1}{6}\left(n^3+3n^2+8n\right)$개의 조각이 만들어 진다.