타원곡면
대수기하학에서, 타원곡면(橢圓曲面, elliptic surface)은 타원곡선을 올로 하는 올다발이 주어진 곡면이다.
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정의[편집]
타원곡면은 타원 다발(elliptic fibration)이 주어진 곡면이다. 여기서 타원 다발이란 타원면에서 대수 곡선으로 가는 제대로 연결된는 매끈한 사상(proper connected smooth morphism)에 대해 그곳의 거의 모든 올이 타원곡선인 올다발이다.
타원곡선이 아닌 다발은 특이 다발(singular fiber)이라고 부르고, 구니히코 고다이라가 분류하였다.
특성[편집]
타원면은 상당히 중요한 곡면의 모임이며, 면의 중요한 예로서, 복소다양체론과 매끈한 4차원 다양체 이론에서 상대적으로 잘 이해하는 것이다. 이는 대수적 수체 위의 타원곡선과 비슷하여, 여기에서 많은 성질을 유추할 수 있다.
타원곡면이라는 이름은 타원에서 나온것이 아니라 타원적분에서 나온 것이다. 타원과는 직접적인 관계가 없다.
예[편집]
- 임의의 타원곡선과 임의의 곡선의 곱공간은 타원면이다. 여기에는 특이 다발이 없다.
- 모든 고다이라 차원 1인 면은 타원면이다.
- 모든 엔리케스 곡면(Enriques surface)은 타원곡면을 이루며, 사영 직선 위에 타원다발을 갖는다.
- 고다이라 곡면
특이 다발의 분류[편집]
특이 다발의 종류는 유한하며, 이들은 유리곡선(rational curves)의 합집합이며, 특이점을 갖거나 0이 아닌 중첩수(multiplicities)를 갖는다 (따라서 해당하는 다발은 쪼개지지 않는 스킴이다(non-reduced schemes)). 고다이라와 네롱 (Néron)은 독립적으로 다발을 분류하였으며, 다발을 분류하는 데 테이트(Tate)의 알고리즘을 쓸 수 있다.
다음은 가능한 최소 탄원 다발의 목록이다. 최소는 더 간단해질 수 없는 성질을 말하며, 면에 대해서 특이 다발은 최소 곡선을 갖지 말아야 한다. 항목은 다음과 같다.
- 다발의 고다이라 부호
- 다발의 네롱 부호
- 다발의 기약 원의 개수 (I0형 빼고는 모두 유리수)
- 원의 교차 행렬. 즉 1×1의 영행렬이거나, 딘킨 도표가 주어진 아핀 카르탕 행렬이다.
| 고다이라 부호 | 네롱 부호 | 기약 성분수 | 교차 행렬 |
|---|---|---|---|
| I0 | A | 1 (elliptic) | 0 |
| I1 | B1 | 1 (with double point) | 0 |
| Iv (v≥2) | Bv | v (v distinct intersection points) | affine Av-1 |
| mIv (v≥0, m≥2) | Iv with multiplicity m | ||
| II | C1 | 1 (with cusp) | 0 |
| III | C2 | 2 (meet at one point of order 2) | affine A1 |
| IV | C3 | 3 (all meet in 1 point) | affine A2 |
| I0* | C4 | 5 | affine D4 |
| Iv* (v>0) | C5,v | 5+v | affine D4+v |
| IV* | C6 | 7 | affine E6 |
| III* | C7 | 8 | affine E7 |
| II* | C8 | 9 | affine E8 |
이를 구하는 방법은 다음과 같다. 기하학에 의하면, 다발의 원의 교차 행렬은 semidefinite 음수여야 하며, 연결되고, 대칭이며, 대각원에는 -1이 없어야 한다(최소성으로부터). 그러한 행렬은 영행렬이거나 ADE대수의 딩킨 다이어그램의 카르탄 행렬이어야 한다.
교차 형렬은 다발의 종류를 결정하는데, 단 다음과 같은 세 예외가 있다.
- 만약 교차행렬이 영행렬이면 다발은 타원곡선이거나 (I0), 이중점이 있거나(type I1), 커스프(cusp)(type II)이다.
- 만약 교차행렬이 아핀 A1이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나 (type I2), 차수가 2인 한 점에서 만난다(type III).
- 만약 교차행렬이 아핀 A2이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나 (type I3), 모두가 한 점에서 만난다 (type IV).
이 목록이 모든 non-multiple 다발을 분류한다. Multiple 다발은 단순히 연결되지 않은 다발에만 존재하며, 이는 Iv형 다발이다.
