타원곡면

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대수기하학에서, 타원곡면(橢圓曲面, 영어: elliptic surface)은 거의 모든 곳에서 타원곡선을 올로 하는 올다발이 주어진 곡면이다.

정의[편집]

타원곡면타원 다발(elliptic fibration)이 주어진 곡면이다. 여기서 타원 다발이란 타원면에서 대수 곡선으로 가는 제대로 연결된는 매끈한 사상(proper connected smooth morphism)에 대해 그곳의 거의 모든 올이 타원곡선올다발이다. 타원곡선이 아닌 올은 특이올(singular fiber)이라고 한다.

특성[편집]

대수 곡면엔리퀘스-고다이라 분류 가운데, 타원면은 상당히 중요한 종류이다. 이는 대수 곡면의 중요한 예로서, 복소다양체론과 매끈한 4차원 다양체 이론에서 상대적으로 잘 이해되는 분류이다. 이는 대수적 수체 위의 타원곡선과 비슷하여, 여기에서 많은 성질을 유추할 수 있다.

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특이올의 분류[편집]

특이올(영어: singular fiber)의 종류는 유한하다. 이들은 유리곡선(rational curves)의 합집합이며, 특이점을 갖거나 0이 아닌 중첩수(multiplicities)를 갖는다 (따라서 해당하는 다발은 쪼개지지 않는 스킴이다(non-reduced schemes)). 타원곡면의 특이올의 분류는 고다이라 구니히코[1][2]앙드레 네롱[3]이 발견하였다. 특이올의 구조는 존 테이트의 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

다음은 가능한 최소(minimal) 특이올의 목록이다. 여기서 "최소 특이올"이란 대략 "최소 곡선을 갖지 않는"이라는 뜻이다. 이 목록은 다음과 같다. 여기서 나열된 성질은 다음과 같다.

고다이라 부호 네롱 부호 기약 성분수 교차 행렬
I0 A 1 (elliptic) 0
I1 B1 1 (with double point) 0
Iv (v≥2) Bv v (v distinct intersection points) affine Av-1
mIv (v≥0, m≥2) Iv with multiplicity m
II C1 1 (with cusp) 0
III C2 2 (meet at one point of order 2) affine A1
IV C3 3 (all meet in 1 point) affine A2
I0* C4 5 affine D4
Iv* (v>0) C5,v 5+v affine D4+v
IV* C6 7 affine E6
III* C7 8 affine E7
II* C8 9 affine E8

이를 구하는 방법은 다음과 같다. 기하학에 의하면, 다발의 원의 교차 행렬은 semidefinite 음수여야 하며, 연결되고, 대칭이며, 대각원에는 -1이 없어야 한다(최소성으로부터). 그러한 행렬은 영행렬이거나 ADE대수의 딩킨 다이어그램의 카르탄 행렬이어야 한다.

교차 형렬은 특이올의 종류를 결정하는데, 단 다음과 같은 세 예외가 있다.

  • 만약 교차행렬이 영행렬이면 특이올은 타원곡선이거나 (I0), 이중점이 있거나(type I1), 커스프(cusp)(type II)이다.
  • 만약 교차행렬이 아핀 A1이면, 2개의 원이 다중치 2이다. 이들은 차수가 1인 두 점에서 만나거나 (type I2), 차수가 2인 한 점에서 만난다(type III).
  • 만약 교차행렬이 아핀 A2이면, 3개의 원이 2점끼리 만난다. 이들은 3개의 서로 다른 점이거나 (type I3), 모두가 한 점에서 만난다 (type IV).

이 목록이 모든 비중복(non-multiple) 특이올 전부이다. 중복(multiple) 특이올은 단일연결이 아닌 다발에만 존재하며, 이는 Iv형 다발이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Kodaira, Kunihiko (1964년). On the structure of compact complex analytic surfaces I. 《American Journal of Mathematics》 86: 751–798. Zbl 0137.17501.
  2. (영어) Kodaira, Kunihiko (1966년). On the structure of compact complex analytic surfaces II. 《American Journal of Mathematics》 88: 682–721. Zbl 0193.37701.
  3. (프랑스어) Néron, André (1964년). Modeles minimaux des variétés abeliennes sur les corps locaux et globaux. 《Publications mathématiques de l’IHÉS》 21: 5–128. MR0179172. Zbl 0132.41403.
  • (영어) Barth, Wolf P., Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. 《Compact complex surfaces》, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 4, 2판, Berlin: Springer. Zbl 1036.14016. ISBN 3-540-00832-2

바깥 고리[편집]

  • (영어) Elliptic surface. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).