코시 함수 방정식

코시 함수 방정식은 코시에 의해 제안된 것으로 알려진 다음 네 가지 형태의 함수방정식을 말한다.

$f(x)$ 가 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 를 만족하면 $f(x)=kx$ (단, k는 상수)이다.^[1]

증명[편집]

우선 $f(x)$ 는 임의의 실수 $a$ , $b$ 에 대해 구간 $[a,b]$ 에서 유계임을 대전제로 갖는다. 위의 식을 만족하는 $f(x)$ 에 대해서는 $f(nx)=nf(x)$ 가 성립한다.(n은 정수) $f(nx+x)=f(nx)+f(x)$ (n은 정수)의 식을 이용하여 수학적 귀납법을 이용하면 위와 같은 결과가 나온다. $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 아래로 유계이고 $b-a=d$ 라 가정하고 $g(x)$ 라는 함수를 새롭게 정의하자.

 $g(x)=f(x)-(f(d)/d)x$

이 때, 원식을 이용하면 $g(x+y)=g(x)+g(y)$ 임을 확인할 수 있다. y에 d를 대입하게 되면 $g(x+d)=g(x)$ 이라는 식을 얻게 되어 $g(x)$ 가 주기가 $d$ 인 주기함수임을 알 수 있게 된다.

$f(x)$ 와 $-(f(d)/d)x$ 가 일정구간 안에서 무조건 아래로 유계이므로 $g(x)$ 또한 유계이다. 그리고 위에서 밝혔듯이 $g(x)$ 는 주기함수이기 때문에 $g(x)$ 는 실수전체에서 유계이다.

0이 아닌 실수 m이 존재한다고 가정하자. 그러면 g(x)도 f(x)와 동일한 함수방정식을 만족하므로 자연수 n에 대해 g(nm)=ng(m)이다. 그렇다면 n을 충분히 크거나 작은 수로 설정하면 무한히 크거나 작은 수를 만들 수 있고, 이는 g(x)가 실수전체에서 유계라는 가정에 모순이다. 그러므로 g(m)이 0이 아닌 m은 존재할 수 없고 모든 실수에 대해 g(x)=0이다. 따라서 f(x)=(f(d)/d)x가 성립한다. f(d)/d=k라고 설정하면 f(x)=kx가 성립한다.

$f(x)$ 가 $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ 를 만족하면 $f(x)=a^{x}$ (단, a는 양의 실수)이다.^[1]
$f(x)$ 가 $f(xy)=f(x)+f(y)$ 를 만족하면 $f(x)=log_{a}x$ (단, $a>0,a\neq 1$ 인 실수)이다.^[1]
$f(x)$ 가 $f(xy)=f(x)\times f(y)$ 를 만족하면 $f(x)=x^{n}$ (단, n는 실수)이다.^[1]