코시 주요값

코시 주요값(Cauchy主要-, Cauchy principal value) 또는 코시 주치(Cauchy主値)는 일부 이상적분을 정의하는 한 방법이다. 오귀스탱 루이 코시가 도입하였다.

정의

함수 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$가 $x_0$ 근처에서 발산한다고 하자. 그렇다면 $a<x_0<b$에서의 적분

$\int_a^b f(x)\;\mathrm dx$

이 리만 적분 또는 르베그 적분으로서 존재하지 않을 수 있다. 그러나 가끔 다음과 같은 극한이 존재할 수 있다.

$\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx\;\stackrel{\text{def}}=\;\lim_{\epsilon\to+0}\int_a^{x_0-\epsilon}f(x)\;\mathrm dx+\int_{x_0+\epsilon}^bf(x)\;\mathrm dx$

이렇게 적분을 규칙화하여 얻는 값을 코시 주요값이라 한다. 실함수 뿐만 아니라, 복소 함수의 선적분의 경우에도 유사한 방법으로 코시 주요값을 정의할 수 있다.

예

예를 들어, $1/x$를 $a<0<b$에서 적분해 보자. 이는 르베그 적분으로서 존재하지 않지만,

$\mathcal P\int_a^b f(x)\;\mathrm dx=\lim_{\epsilon\to0}\left[\log(b/\epsilon)-\log(-a/\epsilon)\right] =\log(-b/a)$

와 같이 코시 주요값으로 존재한다.