카탈랑 상수

카탈랑 상수(Catalan's constant)는 외젠 샤를 카탈랑에 의해 정의된 상수로 조합론에서 쓰인다.

정의[편집]

카탈랑 상수는 다음과 같이 정의된다.

G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!

여기서 β는 디리클레 베타 함수를 의미한다.

카탈랑 상수의 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A006752)

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 6천 억 자리까지 계산되었으나 이 수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

카탈랑 상수는 적분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!

G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\;dt\!

G={\frac {1}{4}}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\;dt\!

G=\int _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!

G=\int _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!

G=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\!

카탈랑 상수 $G$ 의 알려진 세계 신기록 자릿수는 지난 몇십년간 급격하게 증가하였다. 이는 컴퓨터 성능의 향상과 알고리즘적 개선으로 인한 것이다.^[1]

v t e 수학 상수
정수	-1 0 1 2 3
허수	i ( $i$ )
초월수	π e ( $e$ )
무리수	아페리 상수 에르되시-보어와인 상수 √2 φ
기타	드 브루인-뉴먼 상수 라마누잔-솔드너 상수 르장드르 상수 마이셀-메르텐스 상수 비슈바나트 상수 브룬 상수 쌍둥이 소수 상수 오일러-마스케로니 상수 엠브리-트레페텐 상수 카탈랑 상수 파이겐바움 상수