극대 원소와 극소 원소

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순서론에서, 극대 원소(極大元素, 영어: maximal element)와 극소 원소(極小元素, 영어: minimal element)는 부분 순서 집합에서 비교 가능한 원소들 가운데 가장 크거나 가장 작은 원소이다. 최대 원소(最大元素, 영어: maximum element, greatest element)와 최소 원소(最小元素, 영어: minimum element, least element)는 모든 원소들과 비교 가능하며, 가장 크거나 가장 작은 원소이다.

정의[편집]

부분 순서 집합 (P,\le)극대 원소는 다음 성질을 만족시키는 원소 m\in P이다.

  • 모든 a\in P에 대하여, m\le a라면 m=a이다.

부분 순서 집합 (P,\le)최대 원소는 다음 성질을 만족시키는 원소 m\in P이다.

  • 모든 a\in P에 대하여, a \le m이다.

부분 순서 집합 (P,\le)극소 원소최소 원소는 각각 반대 순서 집합 P^{\operatorname{op}}=(P,\ge)의 극대 · 최대 원소이다.

어떤 부분 순서 집합이 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다면, 유계 집합이라고 한다.

성질[편집]

모든 최대 원소는 극대 원소이며, 최소 원소는 극소 원소이다. 전순서 집합에서는 모든 극대 원소는 최대 원소이며, 모든 극소 원소는 최소 원소이다.

만약 어떤 부분 순서 집합이 최대 원소를 갖는다면, 이는 유일하며, 또한 최대 원소가 아닌 극대 원소는 존재하지 않는다. 이는 최소 원소에 대해서도 마찬가지다.

만약 최대 원소가 존재한다면, 보통 \top 또는 1로 표기한다. 마찬가지로, 최소 원소는 보통 \bot 또는 1로 표기한다.

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실수전순서 집합 (\mathbb R,\le)은 극대 · 극소 원소를 갖지 않는다. 닫힌 단위 구간 ([0,1],\le)은 최대 · 최소 원소를 가지지만, 열린 단위 구간 ((0,1),\le)은 최대 원소나 최소 원소를 갖지 않는다.

모든 불 대수헤이팅 대수는 최대 원소 및 최소 원소를 갖는다. 이들은 각각 고전 명제 논리직관 논리의 참값과 대응하는데, 이 경우 최대 원소는 참인 명제, 최소 원소는 거짓인 명제에 대응한다.

어떤 집합 S부분 집합들의 격자 (\mathcal P(S),\subseteq)는 최소 원소 \varnothing 및 최대 원소 S를 갖는다.

R의 아이디얼들의 부분 순서 집합은 최대 원소 R=(1) 및 최소 원소 \{0\}=(0)을 갖는다. 고유 아이디얼(R 전체가 아닌 아이디얼)들의 부분 순서 집합의 극대 원소는 극대 아이디얼이라고 한다.

극대 원소의 존재는 초른의 보조정리를 통해 보일 수 있다.

바깥 고리[편집]