최대하계

하한(infimum) 또는 최대하계(greatest lower bound, GLB)은 순서론에서 쓰이는 개념으로 자세한 정의는 다음과 같다.

일반적인 최대하계의 정의

순서체 F의 위로 유계인 부분집합 S의 하계 z₀가 다른 모든 S의 하계 z에 대해 z₀ ≧ z 를 만족하면 z₀를 S의 최대하계라 하고 z₀ = inf{S} 로 표현한다.

실수에서 최대하계의 정의

위로 유계인 집합 S ⊂ R 의 상계 z₀가 다른 모든 S의 상계 z에 대해 z₀ ≧ z 를 만족하면 z₀를 S의 최대하계라 하고 z₀ = inf{S} 로 표현한다.

특별한 경우

• 하계가 없는 경우, $\inf S = - \infty$ 라 한다.
• S가 공집합인 경우 $\inf S = + \infty$라 한다.

최소값과의 차이

최소값 min{S}와 최대하계 inf{S}는 서로 다르다. 최소값의 경우는 집합 S안에서의 가장 작은 값을 의미하지만, 최대하계는 굳이 집합 안의 값을 가질 필요가 없다. 예를 들어 개구간 (0,1)의 최대하계는 0이지만, 최소값은 존재하지 않는다.

같이보기

• 유계
• 최소상계
• 최소값
• 최대하계공리