체비쇼프 함수

체비쇼프 함수(Chebyshev function)는 다음 두 개의 함수 중 하나를 부르는 말로, 두 함수는 서로 연돤되어 있다. 러시아의 수학자 파프누티 체비쇼프의 이름을 딴 것이다.

첫 번째 체비쇼프 함수 $\vartheta(x)$는 다음과 같이 정의된다.

$\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p$

위 표기은 $x$ 이하의 모든 소수 $p$에 대한 항을 모드 합한다는 뜻이다.

두 번째 체비쇼프 함수 $\psi(x)$는 비슷하게 다음과 같이 정의된다.

$\psi(x) = \sum_{p^k\le x}\log p=\sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p\le x}\lfloor\log_p x\rfloor\log p,$

여기서 $\Lambda(n)$은 망골트 함수(von Mangoldt function)이다.

계산법과 두 체비쇼프 함수의 관계

첫 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수에 대해 $\log p$의 값을 모두 더하는 함수이고, 두 번째 체비쇼프 함수는 주어진 값 이하의 모든 소수의 거듭제곱수들에 대해 $\log p$의 값을 모두 더하는 함수이다. 따라서 항상 다음 부등식이 성립한다.

$\vartheta(x) \le \psi(x)$

이해를 돕기 위해 약간 계산을 해 보면 다음과 같다.

$\vartheta(12.4) = \sum_{p \le 12.4}\log p = \log 2 + \log 3 + \log 5 + \log 7 + \log 11$

$\psi(12.4) = \sum_{p^k \le 12.4}\log p = \log 2 + \log 3 + \log 2 + \log 5 + \log 7 + \log 2 + \log 3 + \log 11$

또한 다음이 성립함을 쉽게 이해할 수 있다.

$\psi(x)=\sum_{n=1}^\infty \vartheta \left(x^{1/n}\right).$

위의 합에서 $n$이 어느 한도를 넘으면 모든 항이 사라지므로, 실제로는 유한합이 된다는 사실에 주의하자. 즉,

$\vartheta \left(x^{1/n}\right) = 0\text{ for }n>\log_2 x\,.$

점근적 성질

다음 세 극한은 동치이다.

$\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\log x}{x} =1$

$\lim_{x\to \infty}\frac{\vartheta(x)}{x} =1$

$\lim_{x\to \infty}\frac{\psi(x)}{x} =1$

여기서 $\pi(x)$는 소수계량함수(prime counting function)을 의미한다. 마지막 식은 점근 표기법을 써서 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\psi(x)\sim x$

첫 번째 극한은 소수 정리(prime number theorem)이다. 소수 정리는 위 극한들이 동치라는 성질을 이용하여, 세 번째 극한을 증명함으로써 증명할 수 있다.

미분 가능화

미분 가능화한 함수(smoothing function)는 다음과 같이 정의된다.

$\psi_1(x)=\int_0^x \psi(t)\,dt.$

점근 표기법을 이용하여 다음과 같이 점근적 성질을 표현할 수 있다.

$\psi_1(x) \sim \frac{x^2}{2}.$

위 사실은 실제로 $\psi(x)\sim x$와 동치임을 증명할 수 있고 따라서 이 미분가능화한 함수의 점근적 성질을 증명하여 소수 정리의 해석적 증명을 할 수도 있다.