체르멜로-프렝켈 집합론

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수학에서, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(選擇公理를追加한Zermelo-Fraenkel集合論, 영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 약자 ZFC)은 공리적 집합론의 하나이다. 현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 사용된다.

정의[편집]

선택공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론1차 논리를 기반으로 하는 1차 집합론이며, 등호 밖에 하나의 이항 관계 \in만을 가진다. 논의영역집합들이며, 이항 관계 a\in b는 "ab원소"라고 읽는다.

선택공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 1차 술어 논리 공리들에 추가로 가정한 것이다.

체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)란 ZFC에서 선택공리를 제외한 것이며, 체르멜로 공리계(Z)는 ZFC에서 선택 공리·정칙성 공리·치환 공리꼴을 제외한 것이다.

집합의 기본 성질[편집]

확장공리와 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며 (확장성), 스스로를 포함하거나 기타 재귀적인 포함 관계를 가지지 못한다 (정칙성).

  1. 확장공리(영어: axiom of extensionality): 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다. 즉, 이는 사실상 집합의 동일합이 무엇인지를 정의한다.
    \forall x \forall y ( \forall z (z \in x \implies z \in y)\implies x = y)
  2. 정칙성 공리(영어: axiom of regularity) 혹은 기초공리(영어: axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다.
    \forall x [ \exists y ( y \in x) \implies \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]

집합의 구성[편집]

분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 순서쌍·합집합·멱집합을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류공리꼴), 함수에 대한 을 취할 수 있다 (치환공리꼴).

  1. 분류 공리꼴(영어: axiom schema of specification): z가 집합이고 \phi가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진 z의 부분집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합 z로 제한하는 것은 러셀의 역설 및 그 변형 등을 피하기 위함이다. 형식적으로 서술하면, x,z,w_1,\ldots,w_n 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi에 대해 다음이 성립한다:
    \forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x \left(x \in y \iff ( x \in z \land \phi ) \right)
  2. 치환 공리꼴(영어: axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 임의의 함수 f에 대해, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면, x,y,A,w_1,\ldots,w_n \! 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi에 대해 다음이 성립한다:
    \forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n \left[ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \implies \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi\right]
    여기에서 한정기호 \exists ! y는 그 뒤의 조건을 만족하는 y가 유일하게 존재함을 말한다.
  3. 짝의 공리(영어: axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.
    \forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)
  4. 합집합 공리(영어: axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.
    \forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal F \implies x \in A)
  5. 멱집합 공리: 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.
    \forall x \exists y  \forall z (z \subseteq x \implies z \in y)
    여기에서 z \subseteq x\forall q (q \in z \implies q \in x)를 줄여 쓴 것이다.

무한공리와 선택공리[편집]

무한공리와 선택공리는 ZFC 공리계에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다. 무한공리는 가산 무한집합의 존재를 가정하며, 여기에 멱집합을 취하여 더 큰 무한 기수순서수들을 정의할 수 있다. 선택공리에 따르면, 무한한 수의 집합들에서 각각 하나의 원소를 무작위로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시할 수 없음을 보일 수 있다.

  1. 무한 공리: 공집합을 원소로 가지며, 만약 y를 원소로 가진다면 언제나 S(y)도 원소로 가지는 집합 X가 존재한다.
    \exist X \left (\varnothing \in X \and \forall y \left(y \in X \implies S(y)  \in X\right)\right)
    여기서 S(x) = x \cup \{x\}이며, 공리 1부터 6까지를 이용해 임의의 집합 x에 대해 S(x)가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. \varnothing공집합으로, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 정칙성 공리에 따라 항상 S(x)\ne x이므로, 이는
    X\supseteq\left\{\varnothing,S(\varnothing),S(S(\varnothing),\dots\right\}
    를 의미한다. 이들은 각각 자연수로 정의할 수 있다.
    \varnothing=0
    S(x)=x+1
    그렇다면, 이 공리는 자연수의 집합 \mathbb N의 존재를 의미한다. (만약 자연수를 다른 방법으로 정의하고 싶으면, 치환공리꼴을 사용하여 이를 다른 정의로 번역할 수 있다.)
  2. 선택 공리: 공집합이 아닌 집합들의 집합 X가 주어졌을 때, X의 각 원소로부터 하나씩의 원소를 고르는 함수 f가 존재한다. 즉, 모든 A\in X에 대하여, fA의 원소 f(A)\in A를 골라낸다.
    \forall X \left[ \varnothing \notin X \implies \exists f \colon X \to \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right]
    여기서 \bigcup X=\bigcup_{A\in X}AX의 모든 원소들의 합집합이며, 합집합 공리에 따라 존재한다.

성질[편집]

ZFC의 논의 영역은 집합만을 포함하며, 고유 모임을 포함하지 않는다. 모임을 직접적으로 다루려면 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 집합론을 사용하여야 한다.

ZFC의 모든 집합은 집합으로 구성되어 있으며, 원자(영어: atom, urelement)를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 집합은 정칙적이다. 즉, 정칙성 공리에 의하여

A=\{A\}=\{\{A\}\}=\cdots

와 같은, 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없다.

ZFC는 공리꼴(axiom schema)을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규(영어: Richard Montague)는 1961년에 ZFC도 ZF도 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론은 ZFC의 보수적 확장(영어: conservative extension)이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 그러나 모스-켈리 집합론은 심지어 순수하게 집합에 대한 명제에 대해서도 ZFC보다 더 강력하다.

ZFC는 (무한 공리 이외에) 큰 기수 공리를 갖지 않는다. 즉, ZFC에서는 현대 집합론에서 다루는 대부분의 기수들을 정의할 수 없다. 또한, ZFC에서는 연속체 가설을 비롯한 초한수의 여러 성질들을 계산할 수 없다.

ZFC의 공리들 가운데 선택 공리는 논란이 되며, 이로부터 정렬 순서 정리바나흐-타르스키 역설과 같은, 직관적이지 않을 수 있는 결과들을 유도할 수 있다. 구성주의 수학에서는 일반적인 형태의 선택 공리를 받아들이지 않는다. 유한주의(영어: finitism) 수학에서는 무한 공리를 사용하지 않거나 제한한다.

역사[편집]

1890년대의 칸토어 역설의 발견과 1901년의 러셀의 역설의 발견으로, 엄밀한 수학기초론의 필요성이 대두되었다.

1904년에 에른스트 체르멜로정렬 순서 정리를 증명하기 위하여 선택 공리를 도입하였다. 1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다.[1] 그러나 체르멜로 집합론은 순서수를 구성하기에 부족하였다. 구체적으로, 체르멜로 집합론에서는 알레프 수 \aleph_\omega를 정의할 수 없다. 또한, 체르멜로의 분류 공리꼴(독일어: Axiom der Aussonderung)에는 "명확한"(독일어: definit) 성질이라는 표현이 포함되어 있었는데, 이 개념은 엄밀하게 정의되지 않았다.

1907년에 러시아의 수학자 드미트리 미리마노프(러시아어: Дми́трий Семёнович Мирима́нов)는 집합의 정칙성의 개념을 정의하였고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도되지 않는다는 사실을 지적하였다.

1910년에 헤르만 바일은 "명확한" 성질을 1차 논리로 정의할 수 있는 성질로 정의하였다.[2] 1922년에 토랄프 스콜렘 또한 같은 제안을 하였다.[3]

또한, 1922년에 아브라함 프렝켈[4]과 스콜렘[3]은 체르멜로의 공리계에 치환 공리꼴(독일어: Ersetzungsaxiom)을 추가하였다. 존 폰 노이만은 여기에 집합의 정칙성을 표현하는 정칙적 공리를 추가하여 ZFC를 완성하였다.

참고 문헌[편집]

  1. (독일어) Zermelo, Ernst (1908년). Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I. 《Mathematische Annalen》 65: 261–281. doi:10.1007/BF01449999. JFM 39.0097.03.
  2. (독일어) Weyl, H. (1910년). Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe. 《Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter》 7: 93–95, 109–113. JFM 41.0089.03.
  3. (독일어) Skolem, T. (1923년). 〈Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre〉, 《Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogörelse》, 217–232쪽. JFM 49.0138.02
  4. (독일어) Fraenkel, A. A. (1922년). Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre. 《Mathematische Annalen》 86: 230–237. doi:10.1007/BF01457986. JFM 48.0199.04.
  • (영어) Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007년). 《Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work》. Springer. ISBN 978-3-540-49551-2
  • (영어) Hinman, Peter (2005년). 《Fundamentals of Mathematical Logic》. A K Peters. ISBN 978-1-56881-262-5
  • (영어) Jech, Thomas (2003년). 《Set Theory》, The Third Millennium Edition, Revised and Expanded, Springer. ISBN 3-540-44085-2

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]