체르멜로-프렝켈 집합론

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수학에서, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(選擇公理를追加한Zermelo-Fraenkel集合論, 영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 약자 ZFC)은 공리적 집합론의 하나이다. 현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 사용된다.

정의[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론1차 논리를 기반으로 하는 1차 집합론이며, 등호 밖에 하나의 이항 관계 \in만을 가진다. 논의영역집합들이며, 이항 관계 a\in b는 "ab원소"라고 읽는다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 1차 술어 논리 공리들에 추가로 가정한 것이다.

체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)란 ZFC에서 선택 공리를 제외한 것이며, 체르멜로 공리계(Z)는 ZFC에서 선택 공리·정칙성 공리·치환 공리꼴을 제외한 것이다.

집합의 기본 성질[편집]

확장공리와 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며 (확장성), 스스로를 포함하거나 기타 재귀적인 포함 관계를 가지지 못한다 (정칙성).

  1. 확장공리(영어: axiom of extensionality): 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다. 즉, 이는 사실상 집합의 동일함이 무엇인지를 정의한다.
    \forall x \forall y ( \forall z (z \in x \implies z \in y)\implies x = y)
  2. 정칙성 공리(영어: axiom of regularity) 혹은 기초공리(영어: axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다.
    \forall x [ \exists y ( y \in x) \implies \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]

집합의 구성[편집]

분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 순서쌍·합집합·멱집합을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류공리꼴), 함수에 대한 을 취할 수 있다 (치환공리꼴).

  1. 분류 공리꼴(영어: axiom schema of specification): z가 집합이고 \phi가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진 z의 부분집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합 z로 제한하는 것은 러셀의 역설 및 그 변형 등을 피하기 위함이다. 형식적으로 서술하면, x,z,w_1,\ldots,w_n 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi에 대해 다음이 성립한다:
    \forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x \left(x \in y \iff ( x \in z \land \phi ) \right)
  2. 치환 공리꼴(영어: axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 임의의 함수 f에 대해, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면, x,y,A,w_1,\ldots,w_n \! 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi에 대해 다음이 성립한다:
    \forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n \left[ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \implies \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi\right]
    여기에서 한정기호 \exists ! y는 그 뒤의 조건을 만족하는 y가 유일하게 존재함을 말한다.
  3. 짝의 공리(영어: axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.
    \forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)
  4. 합집합 공리(영어: axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.
    \forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal F \implies x \in A)
  5. 멱집합 공리: 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.
    \forall x \exists y  \forall z (z \subseteq x \implies z \in y)
    여기에서 z \subseteq x\forall q (q \in z \implies q \in x)를 줄여 쓴 것이다.

무한 공리와 선택 공리[편집]

무한 공리와 선택 공리는 ZFC 공리계에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다. 무한 공리는 가산 무한 집합의 존재를 가정하며, 여기에 멱집합을 취하여 더 큰 무한 기수순서수들을 정의할 수 있다. 선택 공리에 따르면, 무한한 수의 집합들에서 각각 하나의 원소를 무작위로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시할 수 없음을 보일 수 있다.

  1. 무한 공리: 공집합을 원소로 가지며, 만약 y를 원소로 가진다면 언제나 S(y)도 원소로 가지는 집합 X가 존재한다.
    \exist X \left (\varnothing \in X \and \forall y \left(y \in X \implies S(y)  \in X\right)\right)
    여기서 S(x) = x \cup \{x\}이며, 공리 1부터 6까지를 이용해 임의의 집합 x에 대해 S(x)가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. \varnothing공집합으로, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 정칙성 공리에 따라 항상 S(x)\ne x이므로, 이는
    X\supseteq\left\{\varnothing,S(\varnothing),S(S(\varnothing),\dots\right\}
    를 의미한다. 이들은 각각 자연수로 정의할 수 있다.
    \varnothing=0
    S(x)=x+1
    그렇다면, 이 공리는 자연수의 집합 \mathbb N의 존재를 의미한다. (만약 자연수를 다른 방법으로 정의하고 싶으면, 치환공리꼴을 사용하여 이를 다른 정의로 번역할 수 있다.)
  2. 선택 공리: 공집합이 아닌 집합들의 집합 X가 주어졌을 때, X의 각 원소로부터 하나씩의 원소를 고르는 함수 f가 존재한다. 즉, 모든 A\in X에 대하여, fA의 원소 f(A)\in A를 골라낸다.
    \forall X \left[ \varnothing \notin X \implies \exists f \colon X \to \bigcup X \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right]
    여기서 \bigcup X=\bigcup_{A\in X}AX의 모든 원소들의 합집합이며, 합집합 공리에 따라 존재한다.

성질[편집]

ZFC의 논의 영역은 집합만을 포함하며, 고유 모임을 포함하지 않는다. 모임을 직접적으로 다루려면 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 집합론을 사용하여야 한다.

ZFC의 모든 집합은 집합으로 구성되어 있으며, 원자(영어: atom, urelement)를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 집합은 정칙적이다. 즉, 정칙성 공리에 의하여

A=\{A\}=\{\{A\}\}=\cdots

와 같은, 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없다.

ZFC는 공리꼴(axiom schema)을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규(영어: Richard Montague)는 1961년에 ZFC도 ZF도 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론은 ZFC의 보수적 확장(영어: conservative extension)이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다. 그러나 모스-켈리 집합론은 심지어 순수하게 집합에 대한 명제에 대해서도 ZFC보다 더 강력하다.

ZFC는 (무한 공리 이외에) 큰 기수 공리를 갖지 않는다. 즉, ZFC에서는 현대 집합론에서 다루는 대부분의 기수들을 정의할 수 없다. 또한, ZFC에서는 연속체 가설을 비롯한 초한수의 여러 성질들을 계산할 수 없다.

ZFC의 공리들 가운데 선택 공리는 논란이 되며, 이로부터 정렬 정리바나흐-타르스키 역설과 같은, 직관적이지 않을 수 있는 결과들을 유도할 수 있다. 구성주의 수학에서는 일반적인 형태의 선택 공리를 받아들이지 않는다. 유한주의(영어: finitism) 수학에서는 무한 공리를 사용하지 않거나 제한한다.

역사[편집]

1890년대의 칸토어 역설의 발견과 1901년의 러셀의 역설의 발견으로, 엄밀한 수학기초론의 필요성이 대두되었다.

1904년에 에른스트 체르멜로정렬 정리를 증명하기 위하여 선택 공리를 도입하였다. 1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다.[1] 그러나 체르멜로 집합론은 순서수를 구성하기에 부족하였다. 구체적으로, 체르멜로 집합론에서는 알레프 수 \aleph_\omega를 정의할 수 없다. 또한, 체르멜로의 분류 공리꼴(독일어: Axiom der Aussonderung)에는 "명확한"(독일어: definit) 성질이라는 표현이 포함되어 있었는데, 이 개념은 엄밀하게 정의되지 않았다.

1907년에 러시아의 수학자 드미트리 미리마노프(러시아어: Дми́трий Семёнович Мирима́нов)는 집합의 정칙성의 개념을 정의하였고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도되지 않는다는 사실을 지적하였다.

1910년에 헤르만 바일은 "명확한" 성질을 1차 논리로 정의할 수 있는 성질로 정의하였다.[2] 1922년에 토랄프 스콜렘 또한 같은 제안을 하였다.[3]

또한, 1922년에 아브라함 프렝켈[4] 과 스콜렘[3] 은 체르멜로의 공리계에 치환 공리꼴(독일어: Ersetzungsaxiom)을 추가하였다. 존 폰 노이만은 여기에 집합의 정칙성을 표현하는 정칙적 공리를 추가하여 ZFC를 완성하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Zermelo, Ernst (1908). “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I” (독일어). 《Mathematische Annalen》 65: 261–281. doi:10.1007/BF01449999. JFM 39.0097.03. 
  2. Weyl, H. (1910). “Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe” (독일어). 《Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter》 7: 93–95, 109–113. JFM 41.0089.03. 
  3. Skolem, T. (1923). 〈Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre〉. 《Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogörelse》 (독일어). 217–232쪽. JFM 49.0138.02. 
  4. Fraenkel, A. A. (1922). “Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre” (독일어). 《Mathematische Annalen》 86: 230–237. doi:10.1007/BF01457986. JFM 48.0199.04. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]