체르멜로-프렝켈 집합론

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선택공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 줄여서 ZFC)은 공리적 집합론의 대표적인 형태이며, 현대 수학의 기초를 이루는 체계로서 가장 널리 사용되고 있다.

개론[편집]

ZFC는 집합이라는 하나의 개념과, 집합의 포함관계라는 하나의 이항관계 및 그들이 만족하는 공리들로 이루어져 있다. ZFC에서 논의영역에 존재하는 모든 개체(즉, 모든 수학적 대상)는 집합이며, 집합 a가 집합 b의 원소라는 것은 기호로 a \in b로 나타낸다. ZFC는 1차 논리를 기반으로 하는 1차 이론이다.

1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론체르멜로 집합론을 발표했다. 그러나 이 체계는 서수를 구성하기에 부족하다는 큰 단점이 있었다. 비록 서수가 없이도 "보통 수학"을 하는 데에는 대체로 큰 문제가 없긴 하지만, 서수는 집합론의 연구에 있어서 극히 중요한 도구였다. 또한, 체르멜로의 공리들 중에 하나에는 "명확한"(definite)이라는 표현이 포함되어 있었는데, 그 조작적 의미가 불분명하다는 것 또한 하나의 문제였다. 1922년, 아브라함 프렝켈 (독일어: Abraham Fraenkel)과 토랄프 스콜렘 (Thoralf Skolem)은 "명확한 성질"이라는 것을 1차 논리에서 구성될 수 있는 임의의 성질로 정의할 것을 제안했다. 이들의 연구에 따라 체르멜로의 공리체계를 수정하고 정칙성 공리치환공리꼴을 추가한 것을 체르멜로와 프렝켈의 이름 첫글자를 따 ZF라고 한다.

ZF에 선택공리를 추가한 것을 ZFC라고 한다. 수학적 정리 등을 증명할 때 선택공리가 필요한 경우 이 사실은 대체로 명확하게 명시된다. 그 이유는, 선택공리가 비구성적이기 때문이다. 선택공리는 특정한 집합(선택집합)을 어떻게 구성할지를 밝히지 않은 채 그 집합의 존재를 주장하는 공리이다. 따라서 구성주의적 존재론을 주장하는 이들은 선택공리를 받아들이지 않는다.

ZFC는 공리꼴을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규(영어: Richard Montague)는 1961년에 ZFC도 ZF도 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 그 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 (Von Neumann–Bernays–Gödel set theory, NBG)는 유한개의 공리로도 충분하다. NBG는 집합 뿐만 아니라 모임까지도 '존재하는 대상'으로 포함시키고 있다. NBG과 ZFC 중 한 쪽에서 증명된 집합에 대한 정리(즉, 모임을 언급하지 않는 정리)는 다른 한 쪽에서도 증명될 수 있으며, 이런 의미에서 둘은 집합론으로서 서로 동치이다.

공리[편집]

1) 확장공리(Axiom of extensionality): 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다.

\forall x \forall y ( \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y)
\Rightarrow x = y)

2) 정칙성 공리(Axiom of regularity) 혹은 기초의 공리(Axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다.

\forall x [ \exists y ( y \in x) \Rightarrow \exists y ( y \in x \land \lnot \exists z (z \in y \land z \in x))]

3) 분류공리꼴(Axiom schema of specification), 분리공리꼴(Axiom schema of separation) 혹은 제한된 내포공리꼴(Axiom schema of restricted comprehension): z가 집합이고 \phi\!가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진 z의 부분집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합 z로 제한하는 것은 러셀의 역설 및 그 변형 등을 피하기 위함이다. 형식적으로 서술하면, x,z,w_1,\ldots,w_n\! 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi\!에 대해 다음이 성립한다:

\forall z \forall w_1 \ldots w_n \exists y \forall x (x \in y \Leftrightarrow ( x \in z \land \phi ) )

4) 짝의 공리(Axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.

\forall x \forall y \exist z (x \in z \land y \in z)

5) 합집합 공리(Axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.

\forall \mathcal{F} \,\exists A \, \forall Y\, \forall x (x \in Y \land Y \in \mathcal{F} \Rightarrow x \in A)

6) 치환공리꼴(Axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 임의의 함수 f에 대해, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면, x,y,A,w_1,\ldots,w_n \! 등을 자유변수로 가질 수 있는 ZFC의 임의의 논리식 \phi\!에 대해 다음이 성립한다:

\forall A\,\forall w_1,\ldots,w_n [ ( \forall x \in A \exists ! y \phi ) \Rightarrow \exists Y \forall x \in A \exists y \in Y \phi].

여기에서 한정기호 \exists ! y는 그 뒤의 조건을 만족하는 y\!가 유일하게 존재함을 말한다.

다음 공리는 기호 S(x) = x \cup \{x\} \!를 사용한다. 공리 1부터 6 까지를 이용해 임의의 집합 x\!에 대해 S(x)\!가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 또한, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합 \varnothing도 유일하게 존재함을 증명할 수 있다.

7) 무한공리: 공집합을 원소로 가지며, 만약 y를 원소로 가진다면 언제나 S(y)도 원소로 가지는 집합 X가 존재한다.

\exist X \left (\varnothing \in X \and \forall y (y \in X \Rightarrow S(y)  \in X)\right )

8) 멱집합 공리: 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.

\forall x \exists y  \forall z (z \subseteq x \Rightarrow z \in y)

여기에서 z \subseteq x\forall q (q \in z \Rightarrow q \in x)를 줄여 쓴 것이다.

9) 순서공리: 임의의 집합 X에 대해, 그 위의 정렬순서 R이 존재한다. (이는 R이 완전순서이며, X의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 최소원소를 가짐을 뜻한다.)

\forall X \exists R ( R \;\mbox{well-orders}\; X)

함께 보기[편집]