천 류

대수적 위상수학과 미분기하학에서, 천 류(Chern[陳]類, Chern class)는 복소 벡터 다발에 대한 특성류(characteristic class)이다. 매끈한 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량(topological invariants)이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 류와 천 지표(Chern character)는 지표정리에서 쓰인다. 다양체의 구체적인 성질을 모르더라도 어떤 미분 연산자에 의해 사라지는 함수의 개수를 구할 수 있다.

정의

미분다양체 $M$ 위의 복소 벡터 다발 $E$를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 접속 $A\in C^\infty\big(T^*M\otimes\operatorname{End}(E)\big)$와 그 곡률

$R_A=dA+[A\wedge A]\in C^\infty\big(\bigwedge{}^2T^*M\otimes\operatorname{End}(M)\big)$

를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.

$C(t;A)=\det(1+itR_A/2\pi)$.

여기서 $t$는 형식적인 변수다. ($R_A$는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) $C$는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

$c(t,A)=[C(t;A)]\in\bigoplus_kH^{2k}(M;\mathbb C)[t]$

를 정의할 수 있다. 이는 접속 $A$에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

$c(t,A)=c(t)$

이다. 천 류의 원소 $c_k\in H^{2k}(M,\mathbb C)$는 $c(t)$의 테일러 급수

$c(t)=\sum_kc_kt^k$

의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 류라고 한다. 또한, 스티펠-휘트니 류도 실수 벡터 다발에 대한 천 류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

천 지표

천 지표(Chern character)는 1차 천 류의 지수함수다. 즉, 다음과 같다.

$\operatorname{ch}(E)=\exp(c_1(E))$

역사

천싱선이 1946년에 도입하였다.