바닥 함수

바닥 함수의 그래프

수학에서 실수 $x$의 바닥 함수(floor function)는 $x$보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수로 정의되며, $\lfloor x \rfloor$ 또는 $\mathrm{floor}(x)$라고 쓴다. 버림 함수, 가우스 함수라고도 한다. 예를 들어서 floor(2.9) = 2, floor(-2.3) = -3이며, 음수가 아닌 $x$에 대해서 버림과 바닥 함수는 같은 역할을 한다.

수학적으로 표기하면 바닥 함수는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$\lfloor x \rfloor=\sup\{n \in \mathbb{Z} \mid n\le x\} \quad \forall x \in \mathbb{R}$

성질

• 임의의 실수 $x$에 대해 $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$이 성립한다. 특히 $x$가 정수일 때 등호가 성립하며, 그 역도 참이다.
• 바닥 함수는 멱등 함수이다. 즉 $\lfloor \lfloor x \rfloor \rfloor = \lfloor x \rfloor$이다.
• 임의의 정수 $k$와 실수 $x$에 대해 $\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor$이다.
• $x$를 반올림한 값은 $\lfloor x + 0.5 \rfloor$로 나타낼 수 있다.
• 정수가 아닌 임의의 실수 $x$에 대해 바닥 함수의 푸리에 전개가 다음과 같이 존재한다.

  $\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}$

• $m$과 $n$이 서로소인 양수이면, $\sum_{i=1}^{n-1} \left\lfloor \frac {im} n \right\rfloor = \frac{(m - 1) (n - 1)} 2$가 성립한다.

천장 함수

천장 함수의 그래프

바닥 함수와 연관된 다른 함수로 천장 함수(ceiling function)가 있다. 실수 $x$에 대해, 천장 함수 $\lceil x \rceil$ 또는 $\mathrm{ceiling}(x)$는 $x$보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수이다. 예를 들어 ceiling(2.3) = 3, ceiling(-2.3) = -2이다.

수학적으로 천장 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\lceil x \rceil=\inf\{n \in \mathbb{Z} \mid x\le n\}$

임의의 실수 $x$에 대해 다음이 성립한다.

• 천장 함수와 바닥 함수는 서로 바꿔 쓸 수 있다. 즉 $\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor$이다.
• 바닥 함수와 비슷하게, $x \leq \lceil x \rceil < x + 1$이 성립한다.
• 임의의 정수 $k$에 대해 $\left\lfloor \frac k 2 \right\rfloor + \left\lceil \frac k 2 \right\rceil = k$이다.