준자유 전자 모형

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응집물질물리학에서, 준자유 전자 모형(準自由電子模型, nearly free electron model)은 결정 격자를 자유 전자가 거의 자유롭게 통과한다는 가정 아래 결정의 띠구조를 다루는 모형이다.

전개[편집]

준자유 전자 모형은 전자의 위치 에너지 U(\mathbf r)이 그 운동 에너지 \mathbf p^2/2m보다 매우 작다고 가정하여, 위치 에너지를 섭동항으로 다루는 모형이다. 전자 사이의 상호작용은 고려하지 않는다.

중심 방정식[편집]

전자파동 함수위치 에너지를 다음과 같이 푸리에 변환하여 정의하자.

\psi(\mathbf r)=\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r)
U(\mathbf r)=\sum_{\mathbf G}U_{\mathbf G}\exp(i\mathbf G\cdot\mathbf r).

여기서 \sum_{\mathbf G}는 모든 역격자 벡터 \mathbf G에 대한 합이다. 위치 에너지는 실수이어야 하므로

U_{-\mathbf G}=U_{\mathbf G}^*

이다. U_0은 위치에 관계없는 값이므로 임의로 U_0=0으로 놓는다.

이 변수로 슈뢰딩거 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

(k^2/2m-E_{\mathbf k})C_{\mathbf k}=\sum_{\mathbf G}U_{\mathbf G}C_{\mathbf k-\mathbf G}.

여기서 m전자질량이고, E_{\mathbf k}는 전자의 총 에너지이다. 이를 중심 방정식(central equation)이라고 한다.

섭동 이론[편집]

준자유 전자 모형에서는 위치 에너지가 매우 작다고 가정하므로, U_{\mathbf G}k^2/2m-E 보다 매우 작다고 가정하고 섭동 이론을 사용할 수 있다.

0차 섭동 이론에서는 U_{\mathbf G}=0을 놓는다. 그렇다면 자유 전자 모형과 같은 분산 관계를 얻는다.

k^2/2m=E^{(0)}_{\mathbf k}.

1차 섭동 이론에서는 U_{\mathbf G}에 대하여 1차로 비례하는 항을 남긴다. 대부분의 경우에는 에너지의 1차 섭동은 0이다. 하지만 브래그 평면(역격자 벡터를 이등분하는 평면)에서는 섭동이 있을 수 있다. 파수 \mathbf k역격자 벡터 \mathbf G의 브래그 평면 위에 있다고 하자. 즉,

\mathbf G\cdot(\mathbf k-\mathbf G/2)=0

이라고 하자. 그렇다면

\mathbf k^2=(\mathbf k-\mathbf G)^2

이므로, \mathbf k\mathbf k-\mathbf G 사이에 에너지 겹침이 생긴다. 그렇다면 에너지 1차 섭동 \mathbf E^{(1)}은 다음 행렬의 고윳값이고, 에너지 고유 상태는 다음 행렬의 고유벡터이다.

\begin{pmatrix}
0&U_{\mathbf G}\\
U_{\mathbf G}^*&0
\end{pmatrix}.

즉, 에너지 1차 섭동은 다음과 같다.

E^{(1)}=\pm|U_{\mathbf G}|.

따라서 띠틈2|U_{\mathbf G}|임을 알 수 있다.

보다 일반적으로, 여러 브래그 평면의 교차점에서는 더 많은 겹침이 있을 수 있다. 예를 들어, 두 개의 브래그 평면 \mathbf G, \mathbf G'이 겹치는 지점의 경우, 에너지 1차 섭동은 다음 행렬의 고윳값이다.

\begin{pmatrix}
0&U_{\mathbf G}&U_{\mathbf G'}\\
U_{\mathbf G}^*&0&U_{\mathbf G-\mathbf G'}^*\\
U_{\mathbf G'}^*&U_{\mathbf G-\mathbf G'}&0
\end{pmatrix}.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]