제어 가능성

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제어이론에서 제어 가능성(controllability)이란, 시스템의 입력 변수(input variable)를 조절함으로써 특정한 상태 변수(state variable) 혹은 전체 시스템을 조절할 수 있는지를 나타내는 용어이다. 입력 변수를 조절함으로써 특정한 상태 변수를 조절할 수 있을 때 그 상태 변수는 제어 가능하다(controllable)고 하며, 시스템의 모든 상태 변수가 제어 가능할 때 그 시스템은 제어 가능하다고 한다.

[편집] 제어 가능성 판별

아래 제어 가능성 판별 방법은 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)에 대해서만 적용 가능하다.

선형 시불변 시스템의 상태 변수 방정식은 다음 식과 같다.

$\dot{\mathbf x} (t) = \mathbf A \mathbf x(t) + \mathbf B u(t)$

$y (t) = \mathbf C \mathbf x(t) + D u(t)$

이러한 시스템에 대하여 제어 가능성 행렬(controllability matrix) $\mathbf M_C$ 는 다음 식과 같이 정의된다.

$\mathbf M_C \equiv \begin{bmatrix} \mathbf B & \mathbf A \mathbf B & \mathbf A^2 \mathbf B & \cdots & \mathbf A^{n-1} \mathbf B \end{bmatrix}$

여기에서 $n$ 은 이 시스템의 차수이다.

이 제어 가능성 행렬의 역행렬이 존재하면 이 시스템은 제어 가능하다.

[편집] 제어 가능 표준형

어떤 시스템이 다음과 같은 미분방정식으로 나타내어진다고 할 때,

${d^n y(t) \over dt^n} + a_{n-1} {d^{n-1} y(t) \over dt^{n-1}} + \cdots + a_1 {d y(t) \over dt} + a_0 y(t) = b_{n-1} {d^{n-1} u(t) \over dt^{n-1}} + b_{n-2} {d^{n-2} u(t) \over dt^{n-2}} + \cdots + b_1 {d u(t) \over dt} + b_0 u(t)$

이 시스템이 제어 가능하다면 다음과 같은 형태로 상태 변수 방정식을 쓸 수 있다.

${\dot \mathbf x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix} {\mathbf x} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} u$