정칙기수

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집합론에서, 정칙 기수(正則基數, 영어: regular cardinal)는 자신의 공종도와 일치하는 기수를 말한다.

정의[편집]

선택 공리를 가정하자. 기수 \kappa\kappa=\operatorname{cf}\kappa를 만족시키면, \kappa정칙 기수라고 한다. 여기서 \operatorname{cf}공종도를 나타낸다. 만약 \kappa<\operatorname{cf}\kappa라면, \kappa특이 기수(영어: singular cardinal)라고 한다. \kappa>\operatorname{cf}\kappa는 불가능하다.

선택 공리를 가정하지 않는 경우에는 이 경우 모든 기수가 정렬 집합크기라고 말할 수 없으므로 위의 정의는 알레프 수만으로 한정된다.

성질[편집]

선택 공리를 가정할 경우, 기수 κ가 정칙기수일 필요충분조건은 κ가 자신보다 농도가 낮은 기수들의 합으로 표현될 수 있다는 것이다.

무한 순서수 α가 정칙 기수일 필요충분조건은 이것이 극한순서수이지만 자신보다 작은 순서형을 갖는 순서수들의 극한은 아니라는 것이다. 임의의 정칙 기수는 시작순서수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

[편집]

편의상 선택 공리를 가정하자. 다음과 같은 기수들은 정칙 기수이다.

다음과 같은 기수들은 정칙 기수가 아니다.

  • 2 이상의 모든 자연수
  • \aleph_\omega
    • 이는 가장 작은 무한 비정칙 기수이다. 이 경우 \operatorname{cf}\aleph_\omega=\operatorname{cf}\omega=\aleph_0이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]